 hallar un producto interno en 
𝑅
2
R 
2
  en el que la base 
𝐵
=
{
(
1
,
1
)
,
(
2
,
−
1
)
}
B={(1,1),(2,−1)} sea ortonormal

Para hallar un **producto interno** en \( \mathbb{R}^2 \) que haga ortonormal a la base \( B = \{(1,1), (2,-1)\} \), debemos encontrar una matriz de producto interno \( G \) (la matriz asociada al producto interno en esa base) tal que los vectores sean ortogonales y de norma 1. Este es el procedimiento:

### 1. Condición de ortogonalidad:
Para que los vectores sean ortogonales, su producto interno debe ser cero. Esto implica:
\[
\langle (1,1), (2,-1) \rangle = 0
\]
Debemos hallar un producto interno que satisfaga esta condición.

### 2. Expresión general del producto interno:
Un producto interno en \( \mathbb{R}^2 \) puede expresarse en términos de una matriz simétrica \( G = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \), tal que para dos vectores \( u = (u_1, u_2) \) y \( v = (v_1, v_2) \), el producto interno se define como:
\[
\langle u, v \rangle = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}
\]
Esto nos da la expresión:
\[
\langle u, v \rangle = a u_1 v_1 + b (u_1 v_2 + u_2 v_1) + d u_2 v_2
\]

### 3. Aplicar la condición de ortogonalidad:
Para que \( (1,1) \) y \( (2,-1) \) sean ortogonales, aplicamos el producto interno:
\[
\langle (1,1), (2,-1) \rangle = a(1)(2) + b((1)(-1) + (1)(2)) + d(1)(-1)
\]
\[
= 2a + b(-1 + 2) - d = 2a + b - d
\]
Para la ortogonalidad, esta expresión debe ser igual a 0:
\[
2a + b - d = 0 \quad \text{(1)}
\]

### 4. Condición de normalización:
Para que los vectores tengan norma 1, debemos aplicar las siguientes condiciones:
\[
\langle (1,1), (1,1) \rangle = 1
\]
\[
\langle (2,-1), (2,-1) \rangle = 1
\]

**Para el vector \( (1,1) \):**
\[
\langle (1,1), (1,1) \rangle = a(1)^2 + 2b(1)(1) + d(1)^2 = a + 2b + d
\]
Queremos que sea igual a 1:
\[
a + 2b + d = 1 \quad \text{(2)}
\]

**Para el vector \( (2,-1) \):**
\[
\langle (2,-1), (2,-1) \rangle = a(2)^2 + 2b(2)(-1) + d(-1)^2 = 4a - 4b + d
\]
Queremos que sea igual a 1:
\[
4a - 4b + d = 1 \quad \text{(3)}
\]

### 5. Resolver el sistema de ecuaciones:
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1. \( 2a + b - d = 0 \)
2. \( a + 2b + d = 1 \)
3. \( 4a - 4b + d = 1 \)

Podemos resolver este sistema para encontrar los valores de \( a \), \( b \) y \( d \), que nos darán la matriz \( G \) asociada al producto interno que hace ortonormal la base \( B \).

Voy a proceder a resolver el sistema de ecuaciones.La solución del sistema de ecuaciones es:

\[
a = \frac{2}{9}, \quad b = \frac{1}{9}, \quad d = \frac{5}{9}
\]

Por lo tanto, la matriz del producto interno que hace ortonormal a la base \( B = \{(1,1), (2,-1)\} \) es:

\[
G = \begin{pmatrix} \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{5}{9} \end{pmatrix}
\]

Esta matriz define un producto interno en \( \mathbb{R}^2 \) que convierte la base dada en ortonormal.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se define un producto interno en un espacio vectorial?
2. ¿Qué significa que una base sea ortonormal?
3. ¿Cómo afecta la elección de un producto interno a las propiedades geométricas de un espacio vectorial?
4. ¿Qué otros métodos pueden usarse para encontrar productos internos en bases no ortogonales?
5. ¿Qué aplicaciones tiene la ortonormalización de bases en física y geometría?

**Tip:** La ortonormalización de una base simplifica muchos cálculos, especialmente en geometría y álgebra lineal, porque elimina la dependencia entre vectores.

hallar un producto interno en R^2 en el que la base B={(1,1),(2,-1)} sea ortonormal

Learn how to find an inner product in R^2 that makes the basis B={(1,1),(2,-1)} orthonormal. This step-by-step solution involves setting up a system of equations to determine the matrix G associated with the inner product. Suitable for undergraduate linear algebra students.

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