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Resuelve el ejercico 2, a mi me salio en A = { (1,0,1) , (0,1,-1)} y B = { (1,1,2) , (0,1,2)}

Para resolver el ejercicio 2, necesitamos encontrar una base para los subespacios vectoriales \( A \) y \( B \) en \( \mathbb{R}^3 \) dados por las ecuaciones:

\[
A = \{(x, y, z): x - y + z = 0\}, \quad B = \{(x, y, z): x + 2y + z = 0\}.
\]

### Solución

**Subespacio A:**

La ecuación del subespacio \( A \) es:

\[
x - y + z = 0.
\]

Podemos escribir esta ecuación en forma vectorial como:

\[
x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
\]

Esto nos sugiere que los vectores \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) y \( \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) forman una base para \( A \).

**Subespacio B:**

La ecuación del subespacio \( B \) es:

\[
x + 2y + z = 0.
\]

Similarmente, podemos escribir esto en forma vectorial como:

\[
x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
\]

Esto sugiere que los vectores \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \) y \( \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) forman una base para \( B \).

### Conclusión:

- Base para el subespacio \( A \): \( \{ (1, 1, 0), (-1, 0, 1) \} \)
- Base para el subespacio \( B \): \( \{ (1, -1, 0), (-1, 0, 1) \} \)

Tu respuesta anterior parece no ser la correcta porque no satisface las ecuaciones dadas. Si tienes alguna duda o necesitas más detalles sobre el procedimiento, ¡háznoslo saber!

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determinan las bases de otros subespacios vectoriales en \( \mathbb{R}^n \)?
2. ¿Qué métodos se pueden usar para comprobar si un conjunto de vectores es una base?
3. ¿Cómo afecta la intersección de dos subespacios a sus bases respectivas?
4. ¿Cómo se calcula la dimensión de la suma de dos subespacios?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de un subespacio en \( \mathbb{R}^3 \)?

**Tip:** Recuerda que para verificar si un conjunto de vectores es una base, los vectores deben ser linealmente independientes y deben generar todo el subespacio.

Resuelve el ejercicio 2, a mi me salio en A = { (1,0,1) , (0,1,-1)} y B = { (1,1,2) , (0,1,2)}

Learn how to find the bases for vector subspaces in R^3. This solution covers the determination of bases for given subspaces defined by linear equations, including step-by-step vector manipulations and theorems about linear independence. Suitable for undergraduate students in Linear Algebra courses.

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