Una ebanistería fabrica tres tipos de muebles: sillas, mesas y armarios. Para la 
fabricación de cada mueble se usan 3 materiales diferentes 
𝜆 → 𝐵𝑎𝑟𝑛𝑖𝑧
𝛽 → 𝑝𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑐𝑜𝑙𝑎)
𝛾 → 𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐿𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎
Las proporciones vienen representadas en la siguiente tabla de producción.
Tabla de 
producción
𝝀 𝜷 𝜸
Sillas 1 1 2
Mesas 3 2 1
Armarios 2 1 4
Un cliente encarga a la empresa de ebanistería el siguiente lote compuesto por: 7 
sillas, 13 mesas y 11 armarios.
Cuestiones
a) Este problema solo se puede resolver si los vectores de producción son un 
sistema generador es decir forman una Base de R3. Demuéstralo y 
explica por qué.
b) ¿Cuántos botes de Barniz (𝝀) pegamento (𝜷) y pintura lacada (𝜸) debe 
encargar la ebanistería para poder fabricar el lote de productos que le han 
encargado?Resuélvelo aplicando la definición de dependencia/independencia 
lineal siendo el vector independiente el nº total de cada mueble 
fabricado, es decir, (7,13,11). Recuerda explicar cada uno de los pasos.

Este problema puede resolverse utilizando álgebra lineal, más específicamente mediante conceptos de combinaciones lineales, independencia lineal, y la aplicación de sistemas de ecuaciones para encontrar cuántos botes de barniz (\(\lambda\)), pegamento (\(\beta\)) y pintura lacada (\(\gamma\)) se necesitan.

### a) Demostrar que los vectores de producción forman una base de \(\mathbb{R}^3\)

Los vectores de producción para las sillas, mesas y armarios vienen dados por las siguientes combinaciones de materiales (barniz, pegamento, pintura lacada):

- Sillas: \( (1, 1, 2) \)
- Mesas: \( (3, 2, 1) \)
- Armarios: \( (2, 1, 4) \)

El conjunto de vectores \( \{(1, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 4)\} \) es un subconjunto de \(\mathbb{R}^3\). Para determinar si estos vectores forman una base de \(\mathbb{R}^3\), debemos verificar si son linealmente independientes. Si son independientes, entonces forman una base de \(\mathbb{R}^3\).

Para verificar la independencia lineal, planteamos la siguiente combinación lineal de los tres vectores y la igualamos al vector cero:

\[
a(1, 1, 2) + b(3, 2, 1) + c(2, 1, 4) = (0, 0, 0)
\]

Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones:

\[
\begin{aligned}
a + 3b + 2c &= 0 \\
a + 2b + c &= 0 \\
2a + b + 4c &= 0
\end{aligned}
\]

Resolvemos este sistema de ecuaciones para ver si la única solución es \( a = b = c = 0 \), lo que indicaría que los vectores son linealmente independientes.

Primero restamos la segunda ecuación de la primera:

\[
(a + 3b + 2c) - (a + 2b + c) = 0 \quad \Rightarrow \quad b + c = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -c
\]

Sustituimos \( b = -c \) en la segunda ecuación:

\[
a + 2(-c) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad a - c = 0 \quad \Rightarrow \quad a = c
\]

Sustituimos \( a = c \) y \( b = -c \) en la tercera ecuación:

\[
2a + (-c) + 4c = 0 \quad \Rightarrow \quad 2c - c + 4c = 0 \quad \Rightarrow \quad 5c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 0
\]

De esto, obtenemos que \( c = 0 \), \( a = 0 \) y \( b = 0 \).

Como la única solución al sistema es \( a = b = c = 0 \), los vectores son linealmente independientes. Por lo tanto, los vectores de producción forman una base de \(\mathbb{R}^3\).

### b) Determinar cuántos botes de barniz (\(\lambda\)), pegamento (\(\beta\)) y pintura lacada (\(\gamma\)) se deben encargar

Dado que cada tipo de mueble utiliza diferentes cantidades de los materiales (barniz, pegamento, y pintura lacada), debemos calcular cuántas unidades de cada material se requieren para fabricar 7 sillas, 13 mesas y 11 armarios.

Los vectores de producción son:

- Sillas: \( (1, 1, 2) \)
- Mesas: \( (3, 2, 1) \)
- Armarios: \( (2, 1, 4) \)

La cantidad total de materiales (\(\lambda\), \(\beta\), \(\gamma\)) necesarios será la combinación lineal de estos vectores multiplicados por la cantidad de cada tipo de mueble:

\[
7(1, 1, 2) + 13(3, 2, 1) + 11(2, 1, 4)
\]

Hacemos las operaciones para cada material:

1. **Barniz (\(\lambda\))**:
   \[
   7(1) + 13(3) + 11(2) = 7 + 39 + 22 = 68
   \]

2. **Pegamento (\(\beta\))**:
   \[
   7(1) + 13(2) + 11(1) = 7 + 26 + 11 = 44
   \]

3. **Pintura lacada (\(\gamma\))**:
   \[
   7(2) + 13(1) + 11(4) = 14 + 13 + 44 = 71
   \]

Por lo tanto, la ebanistería necesita:

- 68 botes de barniz (\(\lambda\))
- 44 botes de pegamento (\(\beta\))
- 71 botes de pintura lacada (\(\gamma\))

### Conclusión

Para el lote de 7 sillas, 13 mesas y 11 armarios, la ebanistería necesita encargar:

- 68 botes de barniz,
- 44 botes de pegamento,
- 71 botes de pintura lacada.

Este resultado se obtuvo al verificar que los vectores de producción son linealmente independientes y forman una base de \(\mathbb{R}^3\), lo que permite resolver el sistema de ecuaciones para determinar las cantidades totales de cada material.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o concepto?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué es una base en un espacio vectorial?
2. ¿Cómo se verifica la independencia lineal de un conjunto de vectores?
3. ¿Qué otros problemas se pueden resolver con combinaciones lineales?
4. ¿Cómo se interpretan los vectores en este tipo de problema práctico?
5. ¿Qué implicaciones tiene la independencia lineal en la resolución de sistemas de ecuaciones?

### Tip:
Para verificar si un conjunto de vectores es linealmente independiente, puedes organizar los vectores en una matriz y calcular su determinante. Si el determinante es distinto de cero, los vectores son independientes.

Una ebanistería fabrica tres tipos de muebles: sillas, mesas y armarios. Para la fabricación de cada mueble se usan 3 materiales diferentes 𝜆 → 𝐵𝑎𝑟𝑛𝑖𝑧, 𝛽 → 𝑝𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑐𝑜𝑙𝑎), 𝛾 → 𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐿𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎. Las proporciones vienen representadas en la siguiente tabla de producción. El cliente encarga a la empresa de ebanistería el siguiente lote compuesto por: 7 sillas, 13 mesas y 11 armarios. a) Este problema solo se puede resolver si los vectores de producción son un sistema generador es decir forman una Base de R3. Demuéstralo y explica por qué. b) ¿Cuántos botes de Barniz (𝝀), pegamento (𝜷) y pintura lacada (𝜸) debe encargar la ebanistería para fabricar el lote de productos que le han encargado? Resuélvelo aplicando la definición de dependencia/independencia lineal.

This problem involves calculating how many units of varnish, glue, and lacquer paint are needed for the production of furniture using linear algebra concepts such as linear independence and matrix operations. The vectors representing material usage for chairs, tables, and wardrobes form a basis in R3. Suitable for students studying algebra and linear algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation