 Una ebanistería fabrica tres tipos de muebles: sillas, mesas y armarios. Para la fabricación de cada mueble se usan 3 materiales diferentes 𝜆→𝐵𝑎𝑟𝑛𝑖𝑧 𝛽→𝑝𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑐𝑜𝑙𝑎) 𝛾→𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐿𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎 Las proporciones vienen representadas en la siguiente tabla de producción.

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Preguntas del Enunciado

a) Este problema solo se puede resolver si los vectores de producción son un sistema generador es decir forman una Base de R3. Demuéstralo y explica por qué. b) ¿Cuántos botes de Barniz (𝝀) pegamento (𝜷) y pintura lacada (𝜸) debe encargar la ebanistería para poder fabricar el lote de productos que le han encargado? Resuélvelo aplicando la definición de dependencia/independencia lineal siendo el vector independiente el nº total de cada mueble fabricado, es decir, (7,13,11). Recuerda explicar cada uno de los pasos.

Vamos a abordar este problema en dos partes, como se solicita: 

### a) Comprobar si los vectores de producción forman una base de \(\mathbb{R}^3\)

En primer lugar, para que los vectores de producción sean un **sistema generador de \(\mathbb{R}^3\)** y formen una base, deben ser **linealmente independientes**. Esto significa que, en términos prácticos, no deben ser combinaciones lineales entre sí. Para demostrar esto, se debe establecer que el **determinante de la matriz** formada por estos vectores es diferente de cero, lo que garantizaría que sean linealmente independientes.

Supongamos que los vectores que representan las proporciones de barniz, pegamento y pintura lacada para los 3 tipos de muebles (sillas, mesas y armarios) son:

\[
v_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{13} \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} a_{21} \\ a_{22} \\ a_{23} \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} a_{31} \\ a_{32} \\ a_{33} \end{pmatrix}
\]

Estos tres vectores forman las columnas de una matriz \(A\). Para determinar si estos vectores forman una base de \(\mathbb{R}^3\), debemos comprobar si el **determinante** de la matriz \(A\) es distinto de cero:

\[
\text{Determinante de } A = \det(A)
\]

Si \(\det(A) \neq 0\), entonces los vectores son **linealmente independientes** y forman una base de \(\mathbb{R}^3\).

#### Procedimiento:
1. Formar la matriz \(A\) con los tres vectores columna que representan las proporciones de barniz, pegamento y pintura.
2. Calcular el determinante de \(A\).
3. Concluir si el determinante es distinto de cero.

### b) ¿Cuántos botes de barniz (\(\lambda\)), pegamento (\(\beta\)) y pintura lacada (\(\gamma\)) debe encargar la ebanistería?

Aquí nos piden resolver un sistema de ecuaciones lineales que representa la cantidad total de barniz, pegamento y pintura que la ebanistería necesita para fabricar el lote de muebles, dados los vectores de producción. El lote de productos que debe fabricar es \((7, 13, 11)\), es decir, 7 sillas, 13 mesas y 11 armarios.

Representamos el sistema en términos de los materiales usados:

\[
A \cdot x = b
\]

donde:
- \(A\) es la matriz de los coeficientes de producción de los tres materiales para cada tipo de mueble.
- \(x = \begin{pmatrix} \lambda \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}\) son las cantidades de barniz, pegamento y pintura lacada que necesitamos encontrar.
- \(b = \begin{pmatrix} 7 \\ 13 \\ 11 \end{pmatrix}\) es el vector de las cantidades de muebles que hay que fabricar.

#### Procedimiento:
1. Formar la matriz \(A\) y el vector \(b\) con los datos del problema.
2. Resolver el sistema de ecuaciones lineales \(A \cdot x = b\) usando el método de eliminación de Gauss o la inversa de la matriz \(A\).
3. Interpretar el resultado en términos de los botes de barniz, pegamento y pintura lacada que se deben encargar.

### Conclusión:
Una vez resuelto el sistema, obtendremos los valores de \(\lambda\), \(\beta\) y \(\gamma\), que representarán las cantidades de cada material que la ebanistería debe encargar para satisfacer la demanda de producción del lote.

---

¿Te gustaría que calculemos el determinante y resolvamos el sistema paso a paso? 

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se define la independencia lineal de un conjunto de vectores en \(\mathbb{R}^3\)?
2. ¿Qué sucede si el determinante de una matriz es igual a cero?
3. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales usando la inversa de una matriz?
4. ¿Qué interpretación tiene la independencia lineal en el contexto de este problema?
5. ¿Cómo se relaciona la teoría de matrices con problemas de producción como este?

### Tip:
Para resolver sistemas de ecuaciones con matrices, es útil familiarizarse con el **método de Gauss** o el **uso de matrices inversas** como herramientas clave en álgebra lineal.

Una ebanistería fabrica tres tipos de muebles: sillas, mesas y armarios. Para la fabricación de cada mueble se usan 3 materiales diferentes λ→Barniz, β→pegamento (cola), γ→Pintura Lacada. Las proporciones vienen representadas en la siguiente tabla de producción. a) Este problema solo se puede resolver si los vectores de producción son un sistema generador, es decir, forman una Base de R3. Demuéstralo y explica por qué. b) ¿Cuántos botes de Barniz (λ), pegamento (β) y pintura lacada (γ) debe encargar la ebanistería para poder fabricar el lote de productos que le han encargado? Resuélvelo aplicando la definición de dependencia/independencia lineal siendo el vector independiente el nº total de cada mueble fabricado, es decir, (7,13,11).

Learn how to determine if production vectors form a basis in R3 and solve for the number of materials (barniz, pegamento, pintura) needed using linear independence and matrix theory. This advanced problem involves linear algebra, systems of equations, and determinants, perfect for university students.

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