Una ebanistería fabrica tres tipos de muebles: sillas, mesas y armarios. Para la 
fabricación de cada mueble se usan 3 materiales diferentes 
𝜆 → 𝐵𝑎𝑟𝑛𝑖𝑧
𝛽 → 𝑝𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑐𝑜𝑙𝑎)
𝛾 → 𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐿𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎
Las proporciones vienen representadas en la siguiente tabla de producción.
Tabla de 
producción
𝝀 𝜷 𝜸
Sillas 1 1 2
Mesas 3 2 1
Armarios 2 1 4
Un cliente encarga a la empresa de ebanistería el siguiente lote compuesto por: 7 
sillas, 13 mesas y 11 armarios.
Cuestiones
a) Este problema solo se puede resolver si los vectores de producción son un 
sistema generador es decir forman una Base de R3. Demuéstralo y 
explica por qué.
b) ¿Cuántos botes de Barniz (𝝀) pegamento (𝜷) y pintura lacada (𝜸) debe 
encargar la ebanistería para poder fabricar el lote de productos que le han 
encargado? 

Vamos a resolver el problema de la ebanistería paso a paso.

### Cuestión a)
Para demostrar que los vectores de producción son un sistema generador de \(\mathbb{R}^3\) y, por lo tanto, forman una base, necesitamos probar que son linealmente independientes y que abarcan todo \(\mathbb{R}^3\). Los vectores de producción son:

\[
\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_3} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

Para verificar la independencia lineal, colocamos estos vectores en una matriz y calculamos su determinante. Si el determinante es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de \(\mathbb{R}^3\).

La matriz que se forma con estos vectores es:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix}
\]

El determinante de \(A\) se calcula como:

\[
\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
\]

\[
\det(A) = 1 \cdot (2 \cdot 4 - 1 \cdot 1) - 3 \cdot (1 \cdot 4 - 1 \cdot 2) + 2 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1)
\]

\[
\det(A) = 1 \cdot (8 - 1) - 3 \cdot (4 - 2) + 2 \cdot (1 - 2)
\]

\[
\det(A) = 1 \cdot 7 - 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)
\]

\[
\det(A) = 7 - 6 - 2 = -1
\]

Dado que \(\det(A) = -1 \neq 0\), los vectores \(\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}\) y \(\mathbf{v_3}\) son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base de \(\mathbb{R}^3\). Esto significa que cualquier vector en \(\mathbb{R}^3\) puede ser representado como una combinación lineal de estos tres vectores, confirmando que el problema se puede resolver.

### Cuestión b)
Para determinar cuántos botes de barniz (\(\lambda\)), pegamento (\(\beta\)) y pintura lacada (\(\gamma\)) se necesitan, multiplicamos la cantidad de cada material necesario para un mueble por la cantidad de muebles solicitada y sumamos los resultados.

Para cada tipo de mueble, tenemos:

\[
\begin{pmatrix}
\lambda \\
\beta \\
\gamma
\end{pmatrix}
= 7 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 13 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 11 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

Realizamos las multiplicaciones:

\[
7 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 14 \end{pmatrix}
\]

\[
13 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 39 \\ 26 \\ 13 \end{pmatrix}
\]

\[
11 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \\ 11 \\ 44 \end{pmatrix}
\]

Sumamos los resultados:

\[
\begin{pmatrix}
\lambda \\
\beta \\
\gamma
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 14 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 39 \\ 26 \\ 13 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 22 \\ 11 \\ 44 \end{pmatrix}
\]

\[
\begin{pmatrix}
\lambda \\
\beta \\
\gamma
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 7 + 39 + 22 \\ 7 + 26 + 11 \\ 14 + 13 + 44 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 68 \\ 44 \\ 71 \end{pmatrix}
\]

Por lo tanto, la ebanistería necesita encargar 68 botes de barniz (\(\lambda\)), 44 botes de pegamento (\(\beta\)) y 71 botes de pintura lacada (\(\gamma\)).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay algunas preguntas adicionales que podrías considerar:
1. ¿Cómo se verifica si un conjunto de vectores en \(\mathbb{R}^n\) es linealmente independiente?
2. ¿Qué significa que un conjunto de vectores forme una base de un espacio vectorial?
3. ¿Cómo se calcula el determinante de una matriz \(3 \times 3\)?
4. ¿Qué es una combinación lineal de vectores?
5. ¿Qué otros métodos pueden usarse para verificar la independencia lineal de un conjunto de vectores?

**Tip:** Para resolver problemas con matrices y determinantes, practica operaciones de filas y el cálculo de determinantes regularmente para mejorar tu comprensión y habilidad en estos temas.

Explore the mathematical solution to production analysis involving linear independence of vectors and material requirements calculation for furniture manufacturing. Learn about matrix determinants and vector spaces in this advanced high school level problem.

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