Assinale a alternativa que determina corretamente o calculo do limite lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2
Questão 3Escolha uma opção:

a.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,x)→(0,0)2xx2+x2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,y)→(0,0)0y02−y2=0

b.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,0)→(0,0)x2x2+x2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,0)→(0,0)0y02+y2=0

c.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,x)→(0,0)x2x2+x2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,y)→(0,0)0y02+y2=0

d.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(0,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,x)→(0,0)x2x2+y2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,y)→(0,0)0yy2+y2=0

e.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,x)→(0,0)x2x2+x2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,y)→(0,0)xy02+y=0

Para resolver essa questão, devemos calcular o limite da função:

\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}
\]

em diferentes curvas que passam pelo ponto \((0,0)\). O objetivo é verificar se o limite depende da curva escolhida, o que indicaria que o limite não existe.

### Análise das Alternativas

Vamos calcular o limite ao longo de duas curvas distintas:

1. **Curva \(x = y\):**

   Substituindo \(x = y\) na função:

   \[
   \lim_{(x,x) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = \lim_{(x,x) \to (0,0)} \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
   \]

2. **Curva \(x = 0\):**

   Substituindo \(x = 0\) na função:

   \[
   \lim_{(0,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = \lim_{(0,y) \to (0,0)} \frac{0 \cdot y}{0^2 + y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{0}{y^2} = 0.
   \]

### Verificação das Alternativas

Vamos analisar cada alternativa para verificar qual corresponde a esses cálculos:

- **Alternativa A:**
  - Para a curva \(x = y\): \( \lim_{(x,x) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \) (Correto)
  - Para a curva \(x = 0\): \( \lim_{(0,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = 0 \) (Correto)

As outras alternativas apresentam cálculos incorretos ou inconsistentes:

- **Alternativa B** contém erros nos limites para as curvas.
- **Alternativa C** contém um erro tipográfico ao escrever \(02\) em vez de \(0^2\), e não especifica corretamente os limites.
- **Alternativa D** troca as variáveis nos cálculos.
- **Alternativa E** faz uso de expressões matemáticas incorretas na segunda parte da alternativa.

Portanto, a **alternativa correta é a A**.

### Resumo

A alternativa correta é **a) A**. 

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição!

#### Perguntas Relacionadas:
1. Como encontrar o limite de uma função ao longo de diferentes curvas?
2. O que indica quando o limite depende da curva escolhida?
3. Quais são alguns métodos para provar que um limite bidimensional não existe?
4. Como aplicar coordenadas polares na análise de limites?
5. Como usar a definição formal de limite para funções de duas variáveis?

#### Dica:
Ao avaliar limites de funções de várias variáveis, analisar limites ao longo de diferentes curvas pode indicar se o limite é o mesmo ou se ele depende do caminho escolhido.

Assinale a alternativa que determina corretamente o calculo do limite lim(x,y)→(0,0) xy / (x^2 + y^2)

This problem involves calculating the limit of a multivariable function lim(x,y)→(0,0) xy / (x^2 + y^2) by analyzing along different curves, such as x = y and x = 0. It demonstrates key concepts of multivariable calculus, including limit theorems and curve-based approaches. Suitable for undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation