Assinale a alternativa que determina corretamente o calculo do limite lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2
Questão 3Escolha uma opção:

a.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,x)→(0,0)2xx2+x2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,y)→(0,0)0y02−y2=0

b.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,0)→(0,0)x2x2+x2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,0)→(0,0)0y02+y2=0

c.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,x)→(0,0)x2x2+x2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,y)→(0,0)0y02+y2=0

d.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(0,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,x)→(0,0)x2x2+y2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,y)→(0,0)0yy2+y2=0

e.
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0)xyx2+y2=lim(x,x)→(0,0)x2x2+x2=1/2para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0)xyx2+y2=lim(0,y)→(0,0)xy02+y=0

Para resolver essa questão, precisamos analisar o limite \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}\) através de diferentes curvas que tendem a \((0,0)\).

### 1. Curva \(x = y\):
Substituindo \(x = y\) na função \(\frac{xy}{x^2 + y^2}\), temos:

\[
\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}
\]

Portanto, o limite ao longo da curva \(x = y\) é \(\frac{1}{2}\).

### 2. Curva \(x = 0\):
Substituindo \(x = 0\) na função \(\frac{xy}{x^2 + y^2}\), temos:

\[
\frac{0 \cdot y}{0^2 + y^2} = 0
\]

Portanto, o limite ao longo da curva \(x = 0\) é \(0\).

Agora, analisando as alternativas, a alternativa **correta** é a **letra A**, pois descreve corretamente os limites ao longo das curvas \(x = y\) e \(x = 0\).

### Resposta correta: **Letra A**.

---

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição! 

Aqui estão 5 questões relacionadas para expandir o conteúdo:
1. Como se define o limite de uma função em duas variáveis?
2. O que caracteriza um limite que depende do caminho percorrido?
3. Como testar se um limite bidimensional existe em todos os caminhos?
4. Qual é a diferença entre limites unidimensionais e bidimensionais?
5. Como o teorema da substituição ajuda a resolver limites de funções em múltiplas variáveis?

**Dica:** Quando o limite depende do caminho seguido, o limite geral não existe!

Assinale a alternativa que determina corretamente o cálculo do limite lim(x,y)→(0,0) xy/(x^2 + y^2)

Questão 3Escolha uma opção:
a. 
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(x,x)→(0,0) 2x/(x^2 + x^2) = 1/2 para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(0,y)→(0,0) 0y/(0^2 − y^2) = 0

b. 
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(x,0)→(0,0) x^2/(x^2 + x^2) = 1/2 para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(0,0)→(0,0) 0y/(0^2 + y^2) = 0

c. 
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(x,x)→(0,0) x^2/(x^2 + x^2) = 1/2 para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(0,y)→(0,0) 0y/(0^2 + y^2) = 0

d. 
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(0,x)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(x,x)→(0,0) x^2/(x^2 + y^2) = 1/2 para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(0,y)→(0,0) 0y/(y^2 + y^2) = 0

e. 
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪para a curva x=y⇒lim(x,x)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(x,x)→(0,0) x^2/(x^2 + x^2) = 1/2 para a curva x=0⇒lim(0,y)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) = lim(0,y)→(0,0) xy/(0^2 + y) = 0

Learn how to solve the multivariable limit lim(x,y)→(0,0) xy/(x^2 + y^2) by analyzing paths such as x = y and x = 0. This detailed guide explains key concepts in multivariable calculus, including path dependence and substitution methods for solving limits.

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