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El ejercicio consiste en evaluar el límite:

\[
\lim_{x \to 1} (x - 1) \cos\left(\frac{3}{2x - 2}\right).
\]

Para resolverlo, sigamos estos pasos:

1. **Simplificación del límite**: Sustituyamos \(x = 1\) en la expresión:

   - \(x - 1 = 1 - 1 = 0\).
   - \(2x - 2 = 2(1) - 2 = 0\).

   Entonces, la expresión se convierte en:

   \[
   (x - 1) \cos\left(\frac{3}{2x - 2}\right) \to 0 \cdot \cos\left(\frac{3}{0}\right).
   \]

   Dado que \(\frac{3}{0}\) tiende a infinito, la expresión dentro del coseno no está definida directamente, pero el coseno de un valor muy grande oscila entre \(-1\) y \(1\). Esto indica que estamos tratando con una forma indeterminada del tipo \(0 \times \infty\).

2. **Reescritura del límite**: Reescribimos la expresión como un cociente para aplicar la regla de L'Hôpital:

   \[
   \lim_{x \to 1} (x - 1) \cos\left(\frac{3}{2x - 2}\right) = \lim_{x \to 1} \frac{\cos\left(\frac{3}{2x - 2}\right)}{\frac{1}{x - 1}}.
   \]

   Esto nos da una forma indeterminada \(\frac{0}{0}\), que permite el uso de la regla de L'Hôpital.

3. **Aplicación de la regla de L'Hôpital**: Derivamos el numerador y el denominador:

   - Derivada del numerador: \(\frac{d}{dx} \cos\left(\frac{3}{2x - 2}\right) = -\sin\left(\frac{3}{2x - 2}\right) \cdot \frac{-6}{(2x - 2)^2}\).
   - Derivada del denominador: \(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x - 1}\right) = -\frac{1}{(x - 1)^2}\).

   Entonces, el límite se convierte en:

   \[
   \lim_{x \to 1} \frac{-\sin\left(\frac{3}{2x - 2}\right) \cdot \frac{-6}{(2x - 2)^2}}{-\frac{1}{(x - 1)^2}} = \lim_{x \to 1} \frac{6 \sin\left(\frac{3}{2x - 2}\right)}{(2x - 2)^2}.
   \]

4. **Evaluación del nuevo límite**: Al evaluar este límite cuando \(x \to 1\), notamos que \(\sin\left(\frac{3}{2x - 2}\right)\) oscila, pero está acotado entre \(-1\) y \(1\). Como \((2x - 2)^2\) tiende a cero cuando \(x \to 1\), el cociente sigue siendo indeterminado, pero podemos concluir que tiende a cero.

Por lo tanto, el límite es:

\[
\boxed{0}.
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se aplica la regla de L'Hôpital en otros límites?
2. ¿Qué significa una forma indeterminada \(0 \times \infty\)?
3. ¿Cómo se comporta el coseno cuando el argumento tiende a infinito?
4. ¿Cuándo es necesario transformar un producto en un cociente para aplicar L'Hôpital?
5. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para evaluar límites indeterminados?

**Tip:** Para problemas de límites, transforma expresiones complicadas en cocientes o productos para facilitar el uso de técnicas como la regla de L'Hôpital.

This page covers the step-by-step solution to the limit problem lím_{x→1} (x - 1) cos(3 / (2x - 2)) using concepts like limits, indeterminate forms, and L'Hopital's rule. It includes a detailed analysis and simplification to understand how the limit evaluates to 0.

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