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El límite que te proponen es:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) + \sin(x)}{1 - x - \cos(x)}
\]

Para resolver este límite, debemos analizar el comportamiento de las diferentes funciones cuando \( x \to 0 \). Vamos paso a paso:

### 1. Comportamiento de \( x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \)
La función \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) oscila entre \( -1 \) y \( 1 \) cuando \( x \to 0 \), lo que significa que no tiene un valor específico en ese punto, pero está acotada. 

Sin embargo, dado que la función está multiplicada por \( x^2 \), que tiende a 0 cuando \( x \to 0 \), podemos afirmar que:
\[
x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \to 0 \quad \text{cuando} \quad x \to 0.
\]

### 2. Comportamiento de \( \sin(x) \)
Sabemos que \( \sin(x) \) tiene un límite directo en 0 cuando \( x \to 0 \):
\[
\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0.
\]

### 3. Comportamiento del denominador: \( 1 - x - \cos(x) \)
Ahora, veamos el denominador. Sabemos que:
\[
\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1.
\]
Entonces:
\[
1 - x - \cos(x) \to 1 - 0 - 1 = 0 \quad \text{cuando} \quad x \to 0.
\]

### 4. Aplicamos la Regla de L'Hopital
Observamos que al evaluar directamente el límite, obtenemos la forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Por lo tanto, podemos aplicar la **regla de L'Hopital**, que nos permite derivar el numerador y el denominador por separado hasta que resolvamos la indeterminación.

#### Derivada del numerador:
El numerador es \( x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) + \sin(x) \).
- La derivada de \( x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) usando la regla del producto es:
\[
\frac{d}{dx} \left( x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right) = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right).
\]
- La derivada de \( \sin(x) \) es \( \cos(x) \).

Entonces, la derivada total del numerador es:
\[
2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) + \cos(x).
\]

#### Derivada del denominador:
El denominador es \( 1 - x - \cos(x) \).
- La derivada de \( 1 \) es \( 0 \),
- La derivada de \( -x \) es \( -1 \),
- La derivada de \( -\cos(x) \) es \( \sin(x) \).

Por lo tanto, la derivada total del denominador es:
\[
-1 + \sin(x).
\]

### 5. Evaluamos el límite nuevamente
Aplicamos el límite después de la diferenciación:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) + \cos(x)}{-1 + \sin(x)}.
\]

Sabemos que:
- \( 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \to 0 \),
- \( \cos\left(\frac{1}{x}\right) \) está acotado pero no tiene un valor específico, aunque su contribución se anula cuando lo multiplicamos por \( x \to 0 \),
- \( \cos(0) = 1 \) y \( \sin(0) = 0 \).

Por lo tanto, el límite es:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1}{-1} = -1.
\]

### Conclusión:
El valor del límite es \( \boxed{-1} \).

¿Te gustaría una explicación más detallada de alguno de los pasos o aplicar la regla de L'Hopital nuevamente? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cuándo es útil la regla de L'Hopital para resolver límites?
2. ¿Qué sucede si no podemos aplicar la regla de L'Hopital en una forma indeterminada?
3. ¿Cómo afecta la oscilación de \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) al comportamiento de ciertos límites?
4. ¿Por qué \( x^2 \) multiplicado por \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) tiende a cero en este límite?
5. ¿Cómo podríamos aproximar el comportamiento de \( 1 - x - \cos(x) \) cerca de 0 sin usar derivadas?

**Tip:** Siempre que encuentres una indeterminación del tipo \( \frac{0}{0} \), revisa si puedes usar la regla de L'Hopital, pero asegúrate de derivar correctamente tanto el numerador como el denominador.

This article walks you through solving the limit lim_{x -> 0} (x^2 sin(1/x) + sin(x))/(1 - x - cos(x)). It applies L'Hopital's Rule and key trigonometric limits to arrive at the solution.

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