Una economía está formada por el acuerdo entre tres industrias interrelacionas, 
Carbón (x), electricidad (y) y Gas (z). Cada industria consume recursos propios 
y de las otras dos industrias, de tal forma que: 
• La industria de Carbón consume 1% carbón 2% de electricidad y 4% de 
Gas.
• La industria de Electricidad consume 2% carbón 3% de electricidad y 1% 
de Gas.
• La industria de Gas consume 5% carbón 4% de electricidad y 7% de Gas.
Si las demandas exteriores son de 120, 150 y 350 unidades de Carbón, 
Electricidad y Gas respectivamente, determina cuáles son los niveles de 
producción que permiten el equilibrio de esta economía.

Este problema puede ser resuelto utilizando el **modelo de insumo-producto de Leontief**, que se emplea para analizar economías donde las industrias se consumen mutuamente.

Para representar este sistema de industrias interrelacionadas, podemos usar un sistema de ecuaciones lineales basado en una matriz de coeficientes de consumo entre las industrias.

Denotamos:

- \( x \) como el nivel de producción de carbón,
- \( y \) como el nivel de producción de electricidad,
- \( z \) como el nivel de producción de gas.

Cada industria consume ciertos porcentajes de su propia producción y de las otras dos industrias. Por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio son las siguientes:

### Sistema de ecuaciones:

1. La industria del carbón consume:
   \[
   0.01x + 0.02y + 0.04z
   \]
   y la demanda externa es de 120 unidades, por lo que la ecuación para el carbón es:
   \[
   x = 0.01x + 0.02y + 0.04z + 120
   \]

2. La industria de la electricidad consume:
   \[
   0.02x + 0.03y + 0.01z
   \]
   y la demanda externa es de 150 unidades, entonces la ecuación para la electricidad es:
   \[
   y = 0.02x + 0.03y + 0.01z + 150
   \]

3. La industria del gas consume:
   \[
   0.05x + 0.04y + 0.07z
   \]
   y la demanda externa es de 350 unidades, entonces la ecuación para el gas es:
   \[
   z = 0.05x + 0.04y + 0.07z + 350
   \]

### Simplificamos cada una de estas ecuaciones:

1. Para la ecuación del carbón:
   \[
   x - 0.01x - 0.02y - 0.04z = 120
   \]
   \[
   0.99x - 0.02y - 0.04z = 120
   \]

2. Para la ecuación de la electricidad:
   \[
   y - 0.02x - 0.03y - 0.01z = 150
   \]
   \[
   -0.02x + 0.97y - 0.01z = 150
   \]

3. Para la ecuación del gas:
   \[
   z - 0.05x - 0.04y - 0.07z = 350
   \]
   \[
   -0.05x - 0.04y + 0.93z = 350
   \]

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[
\begin{aligned}
0.99x - 0.02y - 0.04z &= 120 \\
-0.02x + 0.97y - 0.01z &= 150 \\
-0.05x - 0.04y + 0.93z &= 350 \\
\end{aligned}
\]

Este sistema se puede resolver utilizando métodos algebraicos, como la eliminación de Gauss, o mediante matrices. Procederé a resolver este sistema para encontrar los niveles de producción de \(x\), \(y\) y \(z\).Los niveles de producción que permiten el equilibrio en esta economía son:

- Producción de carbón (\(x\)): aproximadamente **140.27** unidades,
- Producción de electricidad (\(y\)): aproximadamente **161.56** unidades,
- Producción de gas (\(z\)): aproximadamente **390.83** unidades.

Estos valores aseguran que la demanda externa de 120 unidades de carbón, 150 unidades de electricidad y 350 unidades de gas se satisfaga, teniendo en cuenta las interrelaciones entre las industrias.

¿Te gustaría más detalles sobre el proceso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas adicionales relacionadas:
1. ¿Cómo afecta un cambio en la demanda externa al equilibrio de la economía?
2. ¿Qué pasaría si la industria de electricidad consumiera más gas?
3. ¿Cómo se puede modelar una economía con más de tres industrias?
4. ¿Qué métodos numéricos son útiles para resolver sistemas de ecuaciones grandes?
5. ¿Cuáles son las implicaciones económicas de los modelos insumo-producto?

**Tip**: Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse rápidamente con métodos numéricos como la eliminación de Gauss o descomposiciones matriciales.

Una economía está formada por el acuerdo entre tres industrias interrelacionas, Carbón (x), electricidad (y) y Gas (z). Cada industria consume recursos propios y de las otras dos industrias, de tal forma que: • La industria de Carbón consume 1% carbón 2% de electricidad y 4% de Gas. • La industria de Electricidad consume 2% carbón 3% de electricidad y 1% de Gas. • La industria de Gas consume 5% carbón 4% de electricidad y 7% de Gas. Si las demandas exteriores son de 120, 150 y 350 unidades de Carbón, Electricidad y Gas respectivamente, determina cuáles son los niveles de producción que permiten el equilibrio de esta economía.

Solve a system of linear equations representing a three-sector economy with coal, electricity, and gas industries. Using the Leontief Input-Output model, this problem shows how to find the production levels for each sector, balancing external demands of 120, 150, and 350 units respectively.

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