3.	Los estudiantes de medicina  de cierta universidad están preparando una propuesta para que se amplíen sus horas de prácticas. Estiman que la propuesta aprueba si el 75% (Variabilidad a Favor)  de los estudiantes la favorecen. ¿Qué tamaño de muestra debe ser tomada para que se pueda determinar la proporción verdadera de estudiantes  que favorecen la propuesta? Se desea un error del 4% y tener un nivel de confianza del 99%.

Para determinar el tamaño de la muestra necesaria para estimar la proporción verdadera de estudiantes que favorecen la propuesta, se puede utilizar la fórmula para el tamaño de muestra en estimaciones de proporciones:

\[
n = \left(\frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}\right)
\]

donde:
- \( n \) es el tamaño de la muestra que queremos calcular.
- \( Z_{\alpha/2} \) es el valor crítico de la distribución normal estándar correspondiente al nivel de confianza deseado.
- \( p \) es la proporción estimada de la población que favorece la propuesta (en este caso, 75% o 0.75).
- \( E \) es el margen de error deseado (en este caso, 4% o 0.04).

### Paso 1: Determinar el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \)
Para un nivel de confianza del 99%, \( \alpha = 1 - 0.99 = 0.01 \). El valor de \( Z_{\alpha/2} \) para un nivel de confianza del 99% es aproximadamente 2.576.

### Paso 2: Sustituir los valores en la fórmula
\[
n = \left(\frac{(2.576)^2 \cdot 0.75 \cdot (1 - 0.75)}{0.04^2}\right)
\]

### Paso 3: Calcular
Primero calculamos cada componente:

\[
(2.576)^2 \approx 6.635
\]

\[
0.75 \cdot (1 - 0.75) = 0.75 \cdot 0.25 = 0.1875
\]

\[
E^2 = 0.04^2 = 0.0016
\]

Ahora, calculamos el tamaño de la muestra:

\[
n = \frac{6.635 \cdot 0.1875}{0.0016} \approx \frac{1.244}{0.0016} \approx 777.6
\]

### Paso 4: Redondear el resultado
El tamaño de muestra necesario sería aproximadamente \( n \approx 778 \) estudiantes.

### Respuesta Final:
Se debe tomar una muestra de al menos **778 estudiantes** para poder determinar con un nivel de confianza del 99% si el 75% de los estudiantes favorecen la propuesta, con un margen de error del 4%.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) para diferentes niveles de confianza?
2. ¿Qué sucede con el tamaño de la muestra si se reduce el margen de error?
3. ¿Cómo cambiaría el tamaño de la muestra si la proporción estimada \( p \) fuese diferente?
4. ¿Qué implica un nivel de confianza más bajo en el contexto del tamaño de muestra?
5. ¿Cómo influye la variabilidad de la proporción en el tamaño de la muestra?

**Tip:** El tamaño de la muestra siempre aumenta cuando se requiere mayor precisión (es decir, un margen de error menor) o mayor confianza en los resultados.

Aprende cómo determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de estudiantes de medicina que favorecen una propuesta con un nivel de confianza del 99% y un margen de error del 4%. Ejemplo práctico con la fórmula del tamaño de muestra para proporciones y la distribución normal estándar. Ideal para estudiantes universitarios y profesionales en estadística.

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