Uma empresa é encarregada na produção de parafusos mediante demanda. Sabe-se que há um custo na produção de tais parafusos e que o custo (em R$) é dado mediante a função C(x) = 0,2 + 2x, sendo x a quantidade de parafusos (em centenas) demandada. Após a produção, a empresa vende os parafusos e sua receita (em R$) é obtida mediante a função R(x) = - 2(x - 1)(x - 39), com x em centenas de parafusos. Assim, pode-se afirmar que o lucro máximo que essa empresa pode obter na vendas dos parafusos é obtido quando esta produz p parafusos. O valor de p está:

Para resolver essa questão, precisamos determinar o valor de $ p $, que corresponde à quantidade de parafusos (em centenas) que maximiza o lucro da empresa. O lucro é dado pela diferença entre a receita e o custo, ou seja:

\[
L(x) = R(x) - C(x)
\]

As funções de receita $ R(x) $ e custo $ C(x) $ são fornecidas como:

\[
C(x) = 0,2 + 2x
\]
\[
R(x) = -2(x - 1)(x - 39)
\]

### Passo 1: Expansão da função receita $ R(x) $

Primeiramente, vamos expandir a expressão de $ R(x) $:

\[
R(x) = -2(x - 1)(x - 39)
\]

Aplicando a distributiva:

\[
R(x) = -2[(x)(x) - (x)(39) - (1)(x) + (1)(39)]
\]
\[
R(x) = -2(x^2 - 39x - x + 39)
\]
\[
R(x) = -2(x^2 - 40x + 39)
\]
\[
R(x) = -2x^2 + 80x - 78
\]

Agora temos a função receita:

\[
R(x) = -2x^2 + 80x - 78
\]

### Passo 2: Expressão do lucro $ L(x) $

Agora, vamos calcular o lucro $ L(x) $, que é a diferença entre a receita e o custo:

\[
L(x) = R(x) - C(x)
\]

Substituímos $ R(x) $ e $ C(x) $ nas expressões:

\[
L(x) = (-2x^2 + 80x - 78) - (0,2 + 2x)
\]
\[
L(x) = -2x^2 + 80x - 78 - 0,2 - 2x
\]
\[
L(x) = -2x^2 + 78x - 78,2
\]

### Passo 3: Maximização da função lucro

Agora, para encontrar o valor de $ p $ que maximiza o lucro, precisamos encontrar o vértice da parábola definida pela função quadrática $ L(x) = -2x^2 + 78x - 78,2 $. O ponto de máximo de uma parábola dada por $ ax^2 + bx + c $ ocorre em:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

Aqui, $ a = -2 $ e $ b = 78 $. Substituindo na fórmula:

\[
x = -\frac{78}{2(-2)} = \frac{78}{4} = 19,5
\]

### Conclusão

O lucro máximo ocorre quando $ x = 19,5 $, o que significa que a empresa deve produzir **1.950 parafusos** (em unidades, ou seja, 19,5 centenas) para maximizar o lucro.

Posso ajudar com mais algum detalhe ou pergunta sobre esse cálculo?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como podemos calcular o lucro máximo em reais?
2. O que acontece com o lucro se a empresa produzir mais que 19,5 centenas de parafusos?
3. Qual seria o custo total para produzir 1.950 parafusos?
4. Como a função receita influencia a escolha do número ótimo de parafusos a produzir?
5. Qual seria a receita gerada ao produzir exatamente 1.950 parafusos?

**Dica**: A maximização do lucro geralmente envolve derivadas de funções de receita e custo, especialmente em cenários complexos como este.

This example explores how to maximize the profit for a company producing screws using quadratic functions for both cost and revenue. Learn to calculate the optimal number of screws to produce, using the vertex formula of a parabola, suitable for students in Grades 10-12.

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