como salio esta integral indefinida ∫▒〖〖xe〗^(x/4) dx=e^(x/4) (4x-16)+C〗

Para entender cómo llegamos a la integral indefinida:

\[
\int x e^{x/4} \, dx = e^{x/4} \left(4x - 16\right) + C
\]

veamos los pasos clave que condujeron a este resultado:

### 1. Aplicación del método de integración por partes:
El método de integración por partes se basa en la fórmula:
\[
\int u \, dv = u \, v - \int v \, du
\]
Elegimos las partes de la función de la siguiente manera:
- \( u = x \) (que se simplifica al derivar).
- \( dv = e^{x/4} \, dx \) (que es más manejable para integrar).

### 2. Integración de \( dv \) para encontrar \( v \):
Se realizó la integración de \( dv \) para encontrar \( v \):
\[
v = \int e^{x/4} \, dx = 4 e^{x/4}
\]
Este paso involucró un cambio de variable, donde se definió \( w = \frac{x}{4} \), lo que simplificó la integral de \( e^{w} \).

### 3. Aplicación de la fórmula de integración por partes:
Sustituyendo \( u \) y \( v \) en la fórmula de integración por partes:
\[
\int x e^{x/4} \, dx = x \cdot 4 e^{x/4} - \int 4 e^{x/4} \, dx
\]
La primera parte \( x \cdot 4 e^{x/4} \) se deriva directamente de la fórmula. La segunda parte, \( \int 4 e^{x/4} \, dx \), fue calculada como \( 16 e^{x/4} \).

### 4. Simplificación final:
Restando la integral restante, el resultado final es:
\[
\int x e^{x/4} \, dx = 4 x e^{x/4} - 16 e^{x/4} + C
\]
Factorizando \( e^{x/4} \), obtenemos:
\[
\int x e^{x/4} \, dx = e^{x/4} \left(4x - 16\right) + C
\]

Este proceso muestra cómo cada parte de la integral se derivó paso a paso usando el método de integración por partes y la técnica de cambio de variable.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica el cambio de variable en la integración?
2. ¿Cuál es el criterio para seleccionar \( u \) y \( dv \) en integración por partes?
3. ¿Cómo se verifica la correcta simplificación del resultado final?
4. ¿Qué sucede si se elige una diferente \( u \) en el método de integración por partes?
5. ¿Cuál es el significado de la constante de integración \( C \)?

### Tip:
Al calcular integrales, es útil revisar el proceso verificando que la derivada del resultado coincida con la función original.

Learn how to solve the indefinite integral ∫ xe^(x/4) dx step-by-step using integration by parts. This problem covers integration techniques, exponential functions, and advanced calculus concepts. Suitable for advanced high school students and college-level learners.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation