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que tema de integración es, paso a paso por favor

La imagen muestra un problema de integración donde se te pide encontrar una solución en términos de la constante \( c \). Este tipo de problema cae bajo el **tema de integración indefinida** en cálculo, específicamente usando técnicas como **sustitución** o **integración por partes** para resolver el problema.

### Problema:
Encontrar \( \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx \) en términos de la constante de integración \( c \).

### Paso a Paso para Resolver el Problema:

1. **Identificar la técnica de integración**:
   Observa que la expresión \( \frac{x^2}{1+x^2} \) se puede simplificar para facilitar la integración. Una estrategia común es descomponer la fracción:
   \[
   \frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}
   \]
   Esto nos lleva a:
   \[
   \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx
   \]

2. **Integrar cada término por separado**:
   Ahora puedes dividir la integral en dos partes:
   \[
   \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} \, dx
   \]
   - La primera integral es sencilla:
     \[
     \int 1 \, dx = x
     \]
   - La segunda integral es una integral estándar que corresponde al arcotangente:
     \[
     \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x)
     \]

3. **Escribir la solución general**:
   Combinando los resultados obtenidos:
   \[
   \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = x - \arctan(x) + c
   \]
   donde \( c \) es la constante de integración.

### Solución Final:
La solución en términos de la constante de integración es:
\[
\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = x - \arctan(x) + c
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cuáles son otros métodos para resolver integrales que involucran fracciones racionales?
2. ¿Qué son las integrales inmediatas y cómo se identifican?
3. ¿Cuándo es útil aplicar un cambio de variable en integrales?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente una integral indefinida?
5. ¿Qué otros tipos de funciones comunes tienen integrales conocidas?

### Tip:
Siempre que enfrentes una fracción en una integral, intenta simplificar o descomponer el numerador para identificar integrales más simples o conocidas.

Learn how to integrate the function x^2 / (1 + x^2) step-by-step with a constant of integration, c. This problem involves techniques from indefinite integration, including substitution and integration by parts. Suitable for advanced high school and college students.

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