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hazme esta integral por partes explícitamente 

La integral que deseas resolver es:

\[
\int (x^2 + 2x + 1) \cos x \, dx
\]

Para resolver esta integral, usaremos la técnica de integración por partes. La fórmula de integración por partes es:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

**Paso 1: Identificar \( u \) y \( dv \)**

Primero, podemos descomponer la integral en la suma de tres integrales para simplificar el proceso:

\[
\int (x^2 \cos x + 2x \cos x + \cos x) \, dx = \int x^2 \cos x \, dx + 2 \int x \cos x \, dx + \int \cos x \, dx
\]

Resolveremos cada una por separado.

**Primera integral:**

Para \(\int x^2 \cos x \, dx\), elegimos:

\[
u = x^2, \quad dv = \cos x \, dx
\]

Luego, derivamos y encontramos:

\[
du = 2x \, dx, \quad v = \int \cos x \, dx = \sin x
\]

Aplicando la fórmula de integración por partes:

\[
\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx
\]

Ahora, necesitamos integrar \(\int 2x \sin x \, dx\).

**Segunda integral:**

Para \(\int 2x \sin x \, dx\), elegimos:

\[
u = 2x, \quad dv = \sin x \, dx
\]

Derivamos y encontramos:

\[
du = 2 \, dx, \quad v = -\cos x
\]

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

\[
\int 2x \sin x \, dx = -2x \cos x + \int 2 \cos x \, dx
\]

**Tercera integral:**

Finalmente, integramos \(\int \cos x \, dx\):

\[
\int \cos x \, dx = \sin x
\]

**Reuniendo todo:**

Sustituimos las integrales de nuevo:

\[
\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C_1
\]

\[
2\int x \cos x \, dx = 2(-x \sin x + \cos x) = -2x \sin x + 2 \cos x + C_2
\]

\[
\int \cos x \, dx = \sin x + C_3
\]

Por lo tanto, la integral original es:

\[
\int (x^2 + 2x + 1) \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x - 2x \sin x + 2 \cos x + \sin x + C
\]

Simplificamos:

\[
\int (x^2 + 2x + 1) \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2x \sin x + 2x \cos x + 3\sin x + 2 \cos x + C
\]

Esto completa la integral. ¿Te gustaría que aclare alguna parte o necesitas más detalles?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se eligen \( u \) y \( dv \) al usar la integración por partes?
2. ¿Cuál es la diferencia entre la integración por partes y la sustitución?
3. ¿Cómo se aplicaría la integración por partes a una integral doble o triple?
4. ¿Por qué es útil descomponer la integral inicial en términos más simples?
5. ¿En qué situaciones es preferible usar la integración por partes en lugar de otros métodos?

### Tip:
Siempre que uses integración por partes, es recomendable escoger \( u \) como la función que se simplifica al derivar y \( dv \) como la función que se integra fácilmente.

Learn how to solve the integral of (x^2 + 2x + 1) * cos(x) using explicit integration by parts. This detailed step-by-step solution covers the application of integration by parts formula, involving trigonometric functions and polynomial terms. Suitable for advanced high school students and above.

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