Para evaluar la integral \(\int \sin^3(x) \cos^4(x) \, dx\), usaremos identidades trigonométricas y una estrategia de sustitución adecuada. Vamos a proceder paso a paso:

### Paso 1: Expresar la integral en términos de una identidad trigonométrica
Primero, recordemos que:
\[
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
\]
Entonces, podemos reescribir \(\sin^3(x)\) como \(\sin(x) \cdot \sin^2(x)\), y la identidad \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\) nos puede ayudar a simplificar la expresión.

\[
\int \sin^3(x) \cos^4(x) \, dx = \int \sin(x) \cdot (1 - \cos^2(x)) \cdot \cos^4(x) \, dx
\]

### Paso 2: Sustitución
Hacemos la sustitución \(u = \cos(x)\), lo cual implica que \(du = -\sin(x) \, dx\). Esto convierte la integral original en:

\[
-\int (1 - u^2) u^4 \, du
\]

### Paso 3: Expandir y resolver la integral
Expandimos el integrando:

\[
-\int (u^4 - u^6) \, du = -\left(\int u^4 \, du - \int u^6 \, du\right)
\]

### Paso 4: Integrar
Ahora integramos cada término:

\[
-\left( \frac{u^5}{5} - \frac{u^7}{7} \right) + C
\]

### Paso 5: Volver a \(x\)
Recordando que \(u = \cos(x)\), sustituimos de vuelta:

\[
-\left( \frac{\cos^5(x)}{5} - \frac{\cos^7(x)}{7} \right) + C
\]

### Resultado final:
\[
\int \sin^3(x) \cos^4(x) \, dx = -\frac{\cos^5(x)}{5} + \frac{\cos^7(x)}{7} + C
\]

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan las identidades trigonométricas usadas en este problema?
2. ¿Cómo se podría resolver la integral \(\int \sin^4(x) \cos^3(x) \, dx\)?
3. ¿Qué otras sustituciones trigonométricas pueden facilitar la resolución de integrales?
4. ¿Cómo se resuelven integrales definidas con funciones trigonométricas elevadas a potencias?
5. ¿Cuál es la conexión entre la técnica de sustitución y el cambio de variables en cálculo?

### Consejo:
Siempre que te encuentres con potencias de senos y cosenos, intenta utilizar identidades trigonométricas y la sustitución para simplificar la integral.

Learn how to evaluate the integral ∫sin^3(x)cos^4(x)dx using trigonometric identities and substitution. This detailed guide provides step-by-step instructions on simplifying the expression and solving the integral. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation