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La integral que has subido es:

\[
\int \frac{\sin 3x}{\sqrt[3]{\cos^4 3x}} \, dx
\]

Voy a resolverla paso a paso.

### Paso 1: Simplificación del integrando

Primero, reescribimos la expresión bajo el signo de integral para facilitar el trabajo:

\[
\int \frac{\sin 3x}{(\cos^4 3x)^{1/3}} \, dx
\]

Simplificando el exponente, obtenemos:

\[
\int \frac{\sin 3x}{\cos^{4/3} 3x} \, dx
\]

Esto se puede reescribir como:

\[
\int \sin 3x \cdot \cos^{-4/3} 3x \, dx
\]

### Paso 2: Sustitución trigonométrica

Realizaremos una sustitución para simplificar la integral. Sea:

\[
u = \cos 3x
\]

Entonces, la derivada de \( u \) respecto a \( x \) es:

\[
du = -3\sin 3x \, dx
\]

Por lo tanto:

\[
\sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} \, du
\]

Sustituyendo en la integral, obtenemos:

\[
\int -\frac{1}{3} u^{-4/3} \, du
\]

### Paso 3: Resolver la integral en \( u \)

La integral de \( u^{-4/3} \) se resuelve usando la fórmula estándar para integrar potencias:

\[
\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C
\]

Aquí, \( n = -\frac{4}{3} \), entonces:

\[
\int u^{-4/3} \, du = \frac{u^{-4/3 + 1}}{-4/3 + 1} + C = \frac{u^{-1/3}}{-1/3} + C
\]

Simplificando:

\[
\frac{u^{-1/3}}{-1/3} = -3u^{-1/3} = -3 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{u}}
\]

Por lo tanto, la integral se convierte en:

\[
-\frac{1}{3} \cdot (-3) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{u}} = \frac{1}{\sqrt[3]{u}} + C
\]

### Paso 4: Sustituir \( u \) de nuevo

Finalmente, volvemos a sustituir \( u = \cos 3x \) para obtener la solución en términos de \( x \):

\[
\frac{1}{\sqrt[3]{\cos 3x}} + C
\]

### Respuesta final

La integral resuelta es:

\[
\int \frac{\sin 3x}{\sqrt[3]{\cos^4 3x}} \, dx = \frac{1}{\sqrt[3]{\cos 3x}} + C
\]

¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la sustitución adecuada en integrales trigonométricas?
2. ¿Cuál es el proceso para derivar funciones trigonométricas?
3. ¿Qué técnicas se utilizan para integrar funciones con exponentes fraccionarios?
4. ¿Cómo se manejan las integrales indefinidas con sustituciones complejas?
5. ¿Cómo se integran funciones con combinaciones de seno y coseno?

### Tip:
Cuando te encuentres con una integral compleja, considerar la sustitución adecuada puede simplificar el proceso considerablemente.

Explore a step-by-step solution to the integral of sin(3x) / (cos^4(3x))^(1/3). Learn about trigonometric substitutions and integral formulas used to solve this advanced math problem. Suitable for advanced high school and college students.

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