Determinar el valor de la integral:
	π/2
sen3θ · cos5θdθ

Para determinar el valor de la integral 

\[
\int \sin^3(\theta) \cdot \cos^5(\theta) \, d\theta
\]

podemos usar un cambio de variables y una identidad trigonométrica. Vamos a proceder con los siguientes pasos:

1. **Factorización de la integral**:
   Primero, notamos que podemos reescribir el integrando en una forma que facilite el cambio de variable:
   
   \[
   \sin^3(\theta) \cdot \cos^5(\theta) = \sin(\theta) \cdot \sin^2(\theta) \cdot \cos^5(\theta)
   \]
   
   Recordemos que \(\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)\), por lo que:
   
   \[
   \sin^3(\theta) \cdot \cos^5(\theta) = \sin(\theta) \cdot (1 - \cos^2(\theta)) \cdot \cos^5(\theta)
   \]

2. **Cambio de variable**:
   Usamos el cambio de variable \( u = \cos(\theta) \), por lo tanto \( du = -\sin(\theta) \, d\theta \).
   
   La integral se transforma en:
   
   \[
   -\int (1 - u^2) \cdot u^5 \, du
   \]
   
3. **Expansión e integración**:
   Expandiendo el integrando:
   
   \[
   -\int (u^5 - u^7) \, du
   \]
   
   Ahora, integramos cada término:
   
   \[
   -\left( \frac{u^6}{6} - \frac{u^8}{8} \right) + C
   \]

4. **Sustitución inversa**:
   Finalmente, sustituimos \( u = \cos(\theta) \) de nuevo:
   
   \[
   -\left( \frac{\cos^6(\theta)}{6} - \frac{\cos^8(\theta)}{8} \right) + C
   \]

Por lo tanto, el valor de la integral indefinida es:

\[
\int \sin^3(\theta) \cdot \cos^5(\theta) \, d\theta = -\left( \frac{\cos^6(\theta)}{6} - \frac{\cos^8(\theta)}{8} \right) + C
\]

¿Te gustaría que resuelva algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se podría resolver una integral similar con senos y cosenos elevados a otros exponentes?
2. ¿Qué otras identidades trigonométricas pueden ser útiles en la integración?
3. ¿Cómo se aplica el cambio de variable en integrales más complejas?
4. ¿Qué técnicas se utilizan para integrar funciones trigonométricas producto?
5. ¿Cuál es la relación entre las integrales definidas y las indefinidas en este tipo de problemas?

**Tip**: Las identidades trigonométricas y los cambios de variable son herramientas esenciales para simplificar y resolver integrales complejas.

Learn how to find the integral of sin^3(theta) * cos^5(theta) with a detailed step-by-step solution. This problem involves trigonometric identities and integration techniques by substitution. Suitable for undergraduate students studying calculus.

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