upongamos que la posición de Usain Bolt en una carrera de 100 metros está dada por la función 
s(t)=-0,05t3+1.5t2+10t  donde s(t) es la posición en metros y t el tiempo en segundos.

 Calcula la velocidad instantánea de Usain Bolt a los 5 segundos de iniciada la carrera.


Para calcular la **velocidad instantánea** de Usain Bolt a los 5 segundos, necesitamos derivar la función de posición \( s(t) \) con respecto al tiempo \( t \), lo que nos dará la función de la velocidad \( v(t) \).

La función de posición es:
\[
s(t) = -0.05t^3 + 1.5t^2 + 10t
\]

### Paso 1: Derivar la función de posición \( s(t) \)
La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, es decir:
\[
v(t) = \frac{d}{dt}\left[-0.05t^3 + 1.5t^2 + 10t\right]
\]

Derivamos término por término:

1. La derivada de \( -0.05t^3 \) es \( -0.15t^2 \).
2. La derivada de \( 1.5t^2 \) es \( 3.0t \).
3. La derivada de \( 10t \) es \( 10 \).

Por lo tanto, la función de velocidad es:
\[
v(t) = -0.15t^2 + 3.0t + 10
\]

### Paso 2: Evaluar la velocidad en \( t = 5 \) segundos
Sustituimos \( t = 5 \) en la función de velocidad:
\[
v(5) = -0.15(5)^2 + 3.0(5) + 10
\]
\[
v(5) = -0.15(25) + 15 + 10
\]
\[
v(5) = -3.75 + 15 + 10
\]
\[
v(5) = 21.25 \, \text{m/s}
\]

### Respuesta:
La **velocidad instantánea** de Usain Bolt a los 5 segundos de iniciada la carrera es de **21.25 m/s**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta geométricamente la derivada de una función de posición?
2. ¿Qué significa una velocidad negativa en términos de movimiento?
3. ¿Cómo cambiaría la velocidad si la carrera fuera en una superficie inclinada?
4. ¿Cuál sería la aceleración instantánea de Bolt a los 5 segundos?
5. ¿Cómo se relaciona la derivada segunda de la posición con la aceleración?

**Tip:** La derivada de una función de posición es siempre la velocidad instantánea, mientras que la derivada de la velocidad es la aceleración.

Supongamos que la posición de Usain Bolt en una carrera de 100 metros está dada por la función s(t)=-0.05t^3+1.5t^2+10t donde s(t) es la posición en metros y t el tiempo en segundos. Calcula la velocidad instantánea de Usain Bolt a los 5 segundos de iniciada la carrera.

Calculate the instantaneous velocity of Usain Bolt at 5 seconds in a 100-meter race. This problem involves finding the derivative of a cubic position function to determine velocity, applying core calculus concepts such as the power rule. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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