Lee y analiza el siguiente planteamiento:

A un depósito con 10000 kilos de aceitunas se le bombean 60 kilos de salmuera por minuto. La salmuera se encuentra al 26% de concentración. Por lo que la concentración de sal en las aceitunas en el minuto m está dada por la siguiente función.

C(m)=(1560m)(10000+60m)

2.  En un archivo de Word, explica lo que sucede con la concentración cuando m→∞. Interpreta el resultado y cómo se traduce en términos de la calidad del alimento.

3. Por último, evalúa los siguientes límites. Detalla el procedimiento de cada uno para llegar al resultado.

limx→3(x2+4x−21)(x2−18x+45)

limx→2(2x2+1)(x2+6x−4)

### Análisis del problema:

#### 1. Concentración de la sal en el minuto \( m \)

La fórmula de la concentración de sal en las aceitunas es:

\[
C(m) = \frac{1560m}{10000 + 60m}
\]

Aquí:
- \( m \) es el tiempo en minutos.
- \( 1560m \) representa la cantidad de sal añadida en función del tiempo.
- \( 10000 + 60m \) es la cantidad total de mezcla (aceitunas + salmuera) en el tiempo \( m \).

La concentración es la relación entre la cantidad de sal en el depósito y la cantidad total de la mezcla en cada minuto.

#### 2. Límite cuando \( m \to \infty \)

Para estudiar el comportamiento cuando \( m \to \infty \), es decir, cuando el tiempo transcurre indefinidamente, se toma el límite de la función \( C(m) \):

\[
\lim_{m \to \infty} \frac{1560m}{10000 + 60m}
\]

Vamos a calcular este límite.

### Cálculo del límite de la concentración

El límite se resuelve dividiendo el numerador y el denominador por \( m \):

\[
\lim_{m \to \infty} \frac{1560m}{10000 + 60m} = \lim_{m \to \infty} \frac{1560}{\frac{10000}{m} + 60}
\]

Cuando \( m \to \infty \), el término \( \frac{10000}{m} \to 0 \), lo que nos deja con:

\[
\lim_{m \to \infty} \frac{1560}{60} = 26
\]

Por lo tanto, cuando \( m \to \infty \), la concentración tiende al 26%.

### Interpretación del resultado

Cuando \( m \) se hace grande (es decir, después de mucho tiempo bombeando salmuera al 26%), la concentración de sal en las aceitunas también se estabiliza en el 26%. Esto significa que, después de un tiempo suficiente, la concentración de sal dentro del depósito ya no aumenta y alcanza un equilibrio. **En términos de la calidad del alimento**, esto indica que las aceitunas tendrán un contenido estable de sal del 26%, lo que puede ser importante para asegurar un sabor consistente y evitar que estén demasiado saladas.

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### 3. Cálculo de los límites

#### Límite 1:

\[
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 18x + 45}
\]

**Paso 1: Factorizar el numerador y el denominador.**

- Para el numerador: \( x^2 + 4x - 21 \).
  \[
  x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)
  \]
- Para el denominador: \( x^2 - 18x + 45 \).
  \[
  x^2 - 18x + 45 = (x - 3)(x - 15)
  \]

**Paso 2: Simplificar la fracción.**

\[
\frac{(x - 3)(x + 7)}{(x - 3)(x - 15)}
\]

Al simplificar, cancelamos \( (x - 3) \) del numerador y del denominador:

\[
\frac{x + 7}{x - 15}
\]

**Paso 3: Sustituir \( x = 3 \).**

\[
\frac{3 + 7}{3 - 15} = \frac{10}{-12} = -\frac{5}{6}
\]

Por lo tanto:

\[
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 18x + 45} = -\frac{5}{6}
\]

#### Límite 2:

\[
\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 6x - 4}
\]

**Paso 1: Factorizar el denominador.**

- Para el denominador \( x^2 + 6x - 4 \), no es factorizable fácilmente, por lo que evaluaremos directamente sustituyendo \( x = 2 \).

**Paso 2: Sustitución directa de \( x = 2 \).**

- En el numerador:
  \[
  2(2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9
  \]
- En el denominador:
  \[
  (2)^2 + 6(2) - 4 = 4 + 12 - 4 = 12
  \]

Por lo tanto:

\[
\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 6x - 4} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

### Resumen de los límites:

1. \[
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 18x + 45} = -\frac{5}{6}
\]
2. \[
\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 6x - 4} = \frac{3}{4}
\]

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### ¿Te gustaría que amplíe algún paso o necesitas más detalles?

---

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afectaría el resultado si la concentración inicial de la salmuera fuera mayor?
2. ¿Qué ocurre si se interrumpe el bombeo de salmuera después de un tiempo?
3. ¿Cómo se factoriza un polinomio cuadrático como el que vimos en los límites?
4. ¿Qué pasa con la concentración si las aceitunas absorben sal a un ritmo variable?
5. ¿Cómo se puede interpretar el resultado en términos de otras propiedades del alimento, como la textura?

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### Tip: Al evaluar límites, siempre verifica si es posible simplificar el numerador o el denominador antes de sustituir el valor del límite.

Lee y analiza el siguiente planteamiento: A un depósito con 10000 kilos de aceitunas se le bombean 60 kilos de salmuera por minuto. La salmuera se encuentra al 26% de concentración. Por lo que la concentración de sal en las aceitunas en el minuto m está dada por la siguiente función. C(m) = (1560m)/(10000 + 60m) 2. En un archivo de Word, explica lo que sucede con la concentración cuando m→∞. Interpreta el resultado y cómo se traduce en términos de la calidad del alimento. 3. Por último, evalúa los siguientes límites. Detalla el procedimiento de cada uno para llegar al resultado. limx→3(x2+4x−21)/(x2−18x+45) limx→2(2x2+1)/(x2+6x−4)

Understand the behavior of salt concentration in a large batch of olives as time approaches infinity, with the concentration reaching 26%. This problem includes evaluating two limits and provides a step-by-step explanation of the procedures involved. Suitable for advanced high school and undergraduate students.

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