Polares
1. Grafique cada uno de los siguientes puntos.
a) (3,𝜋)
b) (2,−𝜋2)
c) (−12,𝜋2)

Para graficar los puntos en coordenadas polares, debemos recordar que cada punto se describe por un par \((r, \theta)\), donde \(r\) es la distancia desde el origen y \(\theta\) es el ángulo medido en radianes desde el eje positivo \(x\) (o el eje polar).

Aquí está cómo se verían los puntos:

a) \((3, \pi)\):
   - \(r = 3\)
   - \(\theta = \pi\)
   - Este punto se encuentra a una distancia de 3 unidades del origen en la dirección del ángulo \(\pi\), que es 180 grados. Por lo tanto, el punto se encuentra en el eje negativo \(x\), a 3 unidades a la izquierda del origen.

b) \((2, -\frac{\pi}{2})\):
   - \(r = 2\)
   - \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)
   - Este punto está a 2 unidades del origen en la dirección del ángulo \(-\frac{\pi}{2}\), que es -90 grados. Esto significa que el punto se encuentra 2 unidades hacia abajo desde el origen, en el eje negativo \(y\).

c) \((-12, \frac{\pi}{2})\):
   - \(r = -12\)
   - \(\theta = \frac{\pi}{2}\)
   - Cuando \(r\) es negativo, se toma la dirección opuesta del ángulo dado. En este caso, \(\frac{\pi}{2}\) es 90 grados, lo que apunta hacia arriba. La dirección opuesta es hacia abajo, por lo que el punto se encuentra 12 unidades hacia abajo desde el origen, en el eje negativo \(y\).

Ahora, graficaremos estos puntos:

![Puntos en Coordenadas Polares](https://latex.codecogs.com/svg.latex?\begin{array}{c|c|c}\text{Punto}&r&\theta\\\hline(3,\pi)&3&\pi\\(2,-\frac{\pi}{2})&2&-\frac{\pi}{2}\\(-12,\frac{\pi}{2})&-12&\frac{\pi}{2}\end{array})

¿Quieres detalles adicionales sobre estos puntos o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir esta información:

1. ¿Cómo se convertirían estos puntos de coordenadas polares a coordenadas cartesianas?
2. ¿Qué significa un valor negativo para \(r\) en coordenadas polares?
3. ¿Cómo afecta el ángulo \(\theta\) a la posición del punto en coordenadas polares?
4. ¿Cómo se representaría el punto \((0, \theta)\) en coordenadas polares?
5. ¿Cuál es la relación entre los ángulos positivos y negativos en coordenadas polares?
6. ¿Qué sucede cuando \(r = 0\) en coordenadas polares?
7. ¿Cómo se puede graficar un punto en coordenadas polares si el ángulo \(\theta\) es mayor que \(2\pi\)?
8. ¿Cuál es el método para convertir coordenadas cartesianas a coordenadas polares?

**Tip:** Para convertir un punto de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, usa las fórmulas \(x = r \cos(\theta)\) y \(y = r \sin(\theta)\).

Explore how to graph points in polar coordinates, including (3, π), (2, -π/2), and (-12, π/2). Understand the conversion from polar to Cartesian coordinates and the significance of negative radius values in polar coordinates. Suitable for high school students learning coordinate geometry.

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