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Dame los puntos principales para graficar la ecuacion de la imagen (x3-3x2+2x), y crea 9 ejercicios más similares al de la imagen, en donde se representen los calculos para obtener los puntos de graficacion de las ecuaciones cubicas

Voy a analizar la nueva imagen que has subido para extraer la ecuación cúbica \(x^3 - 3x^2 + 2x\) y proporcionarte los puntos principales para graficarla. Luego, crearé 9 ejercicios similares, en los que se representen los cálculos para obtener los puntos de graficación de otras ecuaciones cúbicas.

Voy a analizar la imagen ahora.La ecuación cúbica extraída de la imagen es:

\[ y = x^3 - 3x^2 + 2x \]

Para graficar esta ecuación, es necesario identificar las raíces, los puntos críticos (máximos y mínimos) y el punto de inflexión.

### Cálculo de los Puntos Principales

#### 1. **Raíces (donde \( y = 0 \))**:
Para encontrar las raíces, igualamos la ecuación a cero:

\[ x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \]

Podemos factorizar sacando un factor común \(x\):

\[ x(x^2 - 3x + 2) = 0 \]

Esto nos da dos factores:

1. \( x = 0 \)
2. Factor cuadrático: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

Resolviendo el factor cuadrático:

\[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]

Entonces las raíces son:

- \( x = 0 \)
- \( x = 1 \)
- \( x = 2 \)

Estos son los puntos donde la gráfica cruza el eje \(x\).

#### 2. **Puntos Críticos**:
Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

\[ y' = 3x^2 - 6x + 2 \]

Igualando a cero:

\[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \]

Aplicamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Donde \(a = 3\), \(b = -6\), y \(c = 2\):

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} \]

Simplificando:

\[ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Estos son los puntos críticos. Para encontrar las coordenadas completas, sustituimos estos valores de \(x\) en la ecuación original para encontrar \(y\).

#### 3. **Punto de Inflexión**:
Para encontrar el punto de inflexión, calculamos la segunda derivada:

\[ y'' = 6x - 6 \]

Igualando a cero para encontrar el punto de inflexión:

\[ 6x - 6 = 0 \]

\[ x = 1 \]

Sustituyendo en la ecuación original para encontrar \(y\):

\[ y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \]

El punto de inflexión es \( (1, 0) \).

### Resumen de Puntos para Graficar:

- **Raíces**: \( (0, 0) \), \( (1, 0) \), \( (2, 0) \)
- **Puntos Críticos**: \( \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, y_1\right) \), \( \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, y_2\right) \)
- **Punto de Inflexión**: \( (1, 0) \)

### Ejercicios Similares

A continuación, te proporciono 9 ejercicios similares:

#### Ejercicio 1
\[ y = x^3 - 4x^2 + 3x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 2
\[ y = 2x^3 - 6x^2 + 4x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 3
\[ y = x^3 - 5x^2 + 6x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 4
\[ y = -x^3 + 3x^2 + x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 5
\[ y = x^3 + x^2 - 2x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 6
\[ y = 3x^3 - 9x^2 + 6x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 7
\[ y = -2x^3 + 4x^2 + 3x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 8
\[ y = x^3 + 2x^2 - x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 9
\[ y = 4x^3 - 12x^2 + 8x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

### Tip:
**Siempre verifica tus respuestas sustituyendo las raíces y puntos críticos en la ecuación original para asegurar que los cálculos son correctos.**

¿Te gustaría que resolviera uno de los ejercicios en detalle?

Explore how to graph cubic equations like y = x^3 - 3x^2 + 2x. Learn about finding roots, critical points, and points of inflection. Includes 9 similar exercises for practice. Suitable for advanced high school students.

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