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Dames los puntos principales para graficar la ecuacion de la imagen, y crea 9 ejercicios más similares al de la imagen, en donde se representen los calculos para obtener los puntos de graficacion de las ecuaciones cubicas

Puedo ver que has subido una imagen con anotaciones matemáticas. Voy a proceder a analizar la imagen para extraer la ecuación cúbica y los cálculos realizados. Luego, te proporcionaré los puntos principales para graficar esa ecuación y generaré 9 ejercicios similares con los cálculos para obtener los puntos de graficación de ecuaciones cúbicas.

Voy a analizar la imagen ahora.La ecuación cúbica en la imagen es:

\[ y = x^3 - 3x + 2 \]

Para graficar esta ecuación, se han calculado los siguientes puntos clave, conocidos como puntos de intersección o raíces, junto con la derivada para identificar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión).

### Cálculo de raíces (puntos donde \(y = 0\)):

Se ha resuelto la ecuación \( x^3 - 3x + 2 = 0 \) utilizando factorización:
\[ (x - 1)(x^2 + x - 2) = 0 \]

Las raíces de esta ecuación son:
1. \( x = 1 \) (directamente de \(x - 1 = 0\))
2. Las raíces del cuadrático \(x^2 + x - 2 = 0\) son:
   - \(x = 1\)
   - \(x = -2\)

Por lo tanto, las raíces son:
- \(x = 1\)
- \(x = -2\)

### Puntos críticos:

Se calcula la derivada de \( y = x^3 - 3x + 2 \):
\[ y' = 3x^2 - 3 \]

Luego, se resuelve \( y' = 0 \) para encontrar los puntos críticos:
\[ 3x^2 - 3 = 0 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]

Para \(x = 1\) y \(x = -1\), se sustituyen en la ecuación original para obtener los valores de \(y\):
- Para \(x = 1\): \( y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \)
- Para \(x = -1\): \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4 \)

### Puntos de inflexión:

Se calcula la segunda derivada:
\[ y'' = 6x \]

El punto de inflexión ocurre cuando \( y'' = 0 \), es decir, en \(x = 0\). Evaluando en la ecuación original:
\[ y(0) = 2 \]

### Puntos para graficar:

- Raíces: \( (-2, 0), (1, 0) \)
- Puntos críticos: \( (1, 0) \) (mínimo), \( (-1, 4) \) (máximo)
- Punto de inflexión: \( (0, 2) \)

Ahora crearé 9 ejercicios similares.### Ejercicios Similares

A continuación, te proporciono 9 ejercicios similares en los que se deben calcular las raíces, puntos críticos y puntos de inflexión de ecuaciones cúbicas, siguiendo el mismo procedimiento que en el ejemplo de la imagen.

#### Ejercicio 1
\[ y = x^3 - 6x^2 + 9x \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 2
\[ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 5 \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 3
\[ y = x^3 - 4x + 1 \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 4
\[ y = -x^3 + 3x^2 + 3x - 1 \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 5
\[ y = x^3 - 5x^2 + 8x - 4 \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 6
\[ y = 2x^3 - 3x^2 - 2x + 5 \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 7
\[ y = -x^3 + 2x^2 + x - 3 \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 8
\[ y = x^3 + x^2 - x - 1 \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

#### Ejercicio 9
\[ y = 3x^3 - 9x + 6 \]
- Encuentra las raíces.
- Calcula la derivada y encuentra los puntos críticos.
- Calcula la segunda derivada y encuentra el punto de inflexión.

### Tip:
**Recuerda que las raíces de una ecuación cúbica pueden encontrarse utilizando factorización, fórmula general (si es cuadrática) o métodos numéricos si no es factorizable directamente.**

¿Quieres que te explique algún ejercicio en detalle o tienes alguna pregunta?

Explore how to graph cubic equations with detailed steps on finding roots, critical points, and points of inflection. Includes 9 practice exercises similar to the example provided. Suitable for advanced high school students.

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