Exercice3.Trouverlepgcdd=a∧bdea=−84etb=990 par l’algorithme d’Euclide (divisions euclidiennes successives). En d ́eduire la liste des diviseurs (dans N) communs a` a et b.

### Algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD de \( a = -84 \) et \( b = 990 \) :

L'algorithme d'Euclide consiste à appliquer des divisions successives jusqu'à ce que le reste soit zéro. Même si \( a \) est négatif, nous pouvons utiliser sa valeur absolue pour l'algorithme.

#### Étape 1 : Trouver \( r_1 \)
On commence par diviser \( 990 \) par \( 84 \) :
\[
990 = 84 \times 11 + 66
\]
Donc, le premier reste \( r_1 = 66 \).

#### Étape 2 : Trouver \( r_2 \)
Ensuite, on divise \( 84 \) par \( 66 \) :
\[
84 = 66 \times 1 + 18
\]
Donc, le reste \( r_2 = 18 \).

#### Étape 3 : Trouver \( r_3 \)
On continue en divisant \( 66 \) par \( 18 \) :
\[
66 = 18 \times 3 + 12
\]
Donc, le reste \( r_3 = 12 \).

#### Étape 4 : Trouver \( r_4 \)
On divise maintenant \( 18 \) par \( 12 \) :
\[
18 = 12 \times 1 + 6
\]
Donc, le reste \( r_4 = 6 \).

#### Étape 5 : Trouver \( r_5 \)
On continue avec \( 12 \) divisé par \( 6 \) :
\[
12 = 6 \times 2 + 0
\]
Puisque le reste est maintenant zéro, on s'arrête ici.

Le dernier reste non nul est \( 6 \), donc le **PGCD de \( -84 \) et \( 990 \) est \( 6 \)**.

### Liste des diviseurs communs de \( a \) et \( b \) dans \( \mathbb{N} \) :

Les diviseurs communs de \( -84 \) et \( 990 \) sont les diviseurs de \( 6 \), à savoir :
\[
\{1, 2, 3, 6\}
\]

### Conclusion :
- Le PGCD de \( -84 \) et \( 990 \) est \( 6 \).
- Les diviseurs communs de \( -84 \) et \( 990 \) dans \( \mathbb{N} \) sont \( \{1, 2, 3, 6\} \).

---

Avez-vous besoin de plus de détails ou d'explications supplémentaires ?

### Questions liées :
1. Comment fonctionne l'algorithme d'Euclide dans des cas plus complexes ?
2. Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?
3. Comment l'algorithme d'Euclide se généralise-t-il pour plus de deux nombres ?
4. Peut-on utiliser l'algorithme d'Euclide pour des nombres non entiers ?
5. Quelle est la relation entre le PGCD et la simplification des fractions ?

### Astuce :
L'algorithme d'Euclide est l'une des méthodes les plus rapides pour trouver le PGCD, même pour des nombres très grands.

Learn how to use the Euclidean Algorithm to find the GCD of -84 and 990. This step-by-step solution walks through the process of successive divisions to find the GCD and lists all common divisors. Suitable for Grades 9-12.

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