Dos trenes se encuentran ubicados sobre una vía horizontal separados por una distancia de 80 km. El tren A parte del reposo y se pone en movimiento con una aceleración constante de 4 m/s2  (de izquierda a derecha). El segundo tren (que denotaremos B)  se mueve en la dirección hacia el tren A. Si el tren B se desplaza con una rapidez constante de 38 m/s, es correcto afirmar que la distancia que recorre el tren A cuando se efectúa la colisión es:

Vamos a resolver el problema paso a paso utilizando las ecuaciones de movimiento.

### Datos:

- Distancia inicial entre los trenes: \( d_0 = 80 \, \text{km} = 80,000 \, \text{m} \)
- Aceleración del tren A: \( a_A = 4 \, \text{m/s}^2 \)
- Velocidad del tren B: \( v_B = 38 \, \text{m/s} \)

### 1. Movimiento del tren A

El tren A parte del reposo, por lo que su velocidad inicial es \( v_{A0} = 0 \). Como tiene una aceleración constante, podemos usar la ecuación de la posición en función del tiempo:

\[
x_A(t) = \frac{1}{2} a_A t^2
\]

### 2. Movimiento del tren B

El tren B se mueve a una velocidad constante, así que la posición del tren B en función del tiempo es:

\[
x_B(t) = d_0 - v_B t
\]

### 3. Condición de colisión

Los trenes colisionan cuando las posiciones de ambos coinciden, es decir:

\[
x_A(t) = x_B(t)
\]

Sustituimos las ecuaciones de \( x_A(t) \) y \( x_B(t) \):

\[
\frac{1}{2} a_A t^2 = d_0 - v_B t
\]

Sustituyendo los valores:

\[
\frac{1}{2} (4) t^2 = 80,000 - 38 t
\]

\[
2 t^2 = 80,000 - 38 t
\]

\[
2 t^2 + 38 t - 80,000 = 0
\]

### 4. Resolución de la ecuación cuadrática

Esta es una ecuación cuadrática de la forma \( at^2 + bt + c = 0 \), donde:

- \( a = 2 \)
- \( b = 38 \)
- \( c = -80,000 \)

Usamos la fórmula general para resolverla:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Sustituimos los valores:

\[
t = \frac{-38 \pm \sqrt{(38)^2 - 4(2)(-80,000)}}{2(2)}
\]

Calculamos el discriminante:

\[
t = \frac{-38 \pm \sqrt{1,444 + 640,000}}{4}
\]

\[
t = \frac{-38 \pm \sqrt{641,444}}{4}
\]

\[
t = \frac{-38 \pm 801}{4}
\]

Tenemos dos soluciones para \( t \):

\[
t_1 = \frac{-38 + 801}{4} = \frac{763}{4} = 190.75 \, \text{segundos}
\]
\[
t_2 = \frac{-38 - 801}{4} = \frac{-839}{4} = -209.75 \, \text{segundos} \, (\text{se descarta por ser negativa}).
\]

Por lo tanto, el tiempo de colisión es \( t = 190.75 \, \text{segundos} \).

### 5. Distancia recorrida por el tren A

Usamos la ecuación de la posición del tren A:

\[
x_A = \frac{1}{2} a_A t^2
\]

Sustituimos los valores:

\[
x_A = \frac{1}{2} (4) (190.75)^2
\]

Calculamos:

\[
x_A = 2 (190.75)^2
\]
\[
x_A \approx 2 (36,386.56) = 72,773.12 \, \text{m} \approx 72.77 \, \text{km}
\]

### Respuesta:

La distancia que recorre el tren A cuando se efectúa la colisión es aproximadamente **72.77 km**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguna parte de la solución o tienes alguna otra pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas para expandir la información:

1. ¿Cómo se deduce la fórmula de movimiento uniformemente acelerado?
2. ¿Cómo cambiaría la solución si el tren B también acelerara?
3. ¿Qué ocurriría si el tren A tuviera una aceleración menor?
4. ¿Cómo afectaría el problema si los trenes se movieran en direcciones opuestas desde el principio?
5. ¿Cómo se calcula la energía cinética de los trenes en el momento de la colisión?

**Tip:** En problemas de colisión, la clave es encontrar cuándo las posiciones de ambos objetos son iguales, lo cual se puede resolver a menudo con ecuaciones cuadráticas.

Dos trenes se encuentran ubicados sobre una vía horizontal separados por una distancia de 80 km. El tren A parte del reposo y se pone en movimiento con una aceleración constante de 4 m/s2 (de izquierda a derecha). El segundo tren (que denotaremos B) se mueve en la dirección hacia el tren A. Si el tren B se desplaza con una rapidez constante de 38 m/s, es correcto afirmar que la distancia que recorre el tren A cuando se efectúa la colisión es:

This problem involves solving for the distance traveled by a train using quadratic equations in a collision scenario. Given a 4 m/s² acceleration for Train A and a constant speed of 38 m/s for Train B, find the distance at which they collide. Detailed steps and kinematic formulas are included, suitable for high school students.

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