"Придумать легкую матрицу 3х3, привести к треугольному виду, ≠0, посчитать обратную матрицу двумя способами."

Давайте решим эту задачу по шагам.

### 1. Пример лёгкой матрицы 3x3:
Возьмём простую матрицу:
\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]

### 2. Приведение к треугольному виду:
Для этого нужно выполнить элементарные преобразования строк, чтобы получить нули ниже главной диагонали. 

Начнём с матрицы \( A \):

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]

1. Разделим первую строку на 2 (элементарное преобразование), чтобы сделать первый элемент единицей:
\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0 \\
1 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]

2. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 1:
\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{5}{2} & 2 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]

3. Разделим вторую строку на \(\frac{5}{2}\), чтобы получить единицу на позиции \((2,2)\):
\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 1 & \frac{4}{5} \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]

4. Из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 1:
\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 1 & \frac{4}{5} \\
0 & 0 & \frac{1}{5}
\end{pmatrix}
\]

Теперь наша матрица имеет треугольный вид:

\[
A_{\text{тр}} = \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 1 & \frac{4}{5} \\
0 & 0 & \frac{1}{5}
\end{pmatrix}
\]

### 3. Нахождение обратной матрицы (способ 1: через метод Гаусса)
Для нахождения обратной матрицы применим метод Гаусса, начнём с объединённой матрицы \( A | I \), где \( I \) — это единичная матрица:

\[
\left( 
\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]

Применим такие же преобразования, как для треугольной матрицы:

1. Разделим первую строку на 2:
\[
\left( 
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
1 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]

2. Из второй строки вычтем первую:
\[
\left( 
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & \frac{5}{2} & 2 & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]

3. Разделим вторую строку на \(\frac{5}{2}\):
\[
\left( 
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]

4. Из третьей строки вычтем вторую:
\[
\left( 
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & 1 \\
\end{array}
\right)
\]

5. Теперь умножим третью строку на 5:
\[
\left( 
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 5 \\
\end{array}
\right)
\]

6. Из второй строки вычтем третью, умноженную на \(\frac{4}{5}\):
\[
\left( 
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & -4 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 5 \\
\end{array}
\right)
\]

7. Из первой строки вычтем третью, умноженную на \(\frac{1}{2}\):
\[
\left( 
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{2} \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & -4 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 5 \\
\end{array}
\right)
\]

Теперь матрица имеет вид \( I | A^{-1} \), и обратная матрица:
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -\frac{5}{2} \\
-1 & 2 & -4 \\
1 & -2 & 5
\end{pmatrix}
\]

### 4. Нахождение обратной матрицы (способ 2: через формулу обратной матрицы для 3x3)
Обратная матрица для матрицы \( A \) может быть найдена по формуле:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)
\]
Где \( \det(A) \) — это определитель матрицы \( A \), а \( \text{Adj}(A) \) — присоединённая матрица.

1. **Определитель** \( A \):
\[
\det(A) = 2 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + 0 = 2 \cdot 1 - 1 = 1
\]

2. **Присоединённая матрица**:
Находим алгебраические дополнения для каждого элемента и составляем присоединённую матрицу.

Так как \( \det(A) = 1 \), обратная матрица \( A^{-1} \) совпадает с присоединённой матрицей. После вычислений мы получим ту же матрицу \( A^{-1} \), что и в первом методе.

---

Есть ли вопросы по каким-либо шагам? Хотите рассмотреть какой-то этап подробнее?

Вот 5 связанных вопросов:
1. Как вывести формулу для нахождения обратной матрицы через присоединённую?
2. Какие элементарные преобразования строк можно использовать для решения систем уравнений?
3. Как найти определитель больших матриц (> 3x3)?
4. Почему метод Гаусса предпочтителен для нахождения обратной матрицы в больших матрицах?
5. Каковы свойства треугольных матриц?

**Совет:** При нахождении обратной матрицы методом Гаусса важно избегать делений на малые числа, чтобы минимиз

Придумать легкую матрицу 3х3, привести к треугольному виду, ≠0, посчитать обратную матрицу двумя способами.

Learn how to solve a 3x3 matrix problem by transforming it into triangular form and finding the inverse matrix using both Gaussian elimination and the adjoint method. This guide includes step-by-step solutions with key formulas for linear algebra students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation