Calcula (281, 137) y encuentra x, y ∈ Z tales que (281, 137) = 281x+137y.
Es necesario que enuncies los teoremas y proposiciones utilizados para
calcular el m ́aximo com ́un divisor.

Para resolver el problema, primero calculamos el máximo común divisor (MCD) de \(281\) y \(137\) usando el algoritmo de Euclides, y luego encontramos los enteros \(x\) y \(y\) que satisfacen la ecuación lineal diofántica \( (281, 137) = 281x + 137y \).

### Paso 1: Cálculo del MCD usando el Algoritmo de Euclides

**Algoritmo de Euclides**: Este algoritmo se utiliza para encontrar el MCD de dos números enteros. Consiste en dividir el número mayor por el menor y reemplazar el número mayor por el menor y el menor por el resto de la división, repitiendo este proceso hasta que el resto sea cero. El último divisor no nulo es el MCD.

Aplicando el algoritmo:

1. \( 281 \div 137 = 2 \) con residuo \( 7 \) (ya que \(281 = 137 \times 2 + 7\)).
2. \( 137 \div 7 = 19 \) con residuo \( 4 \) (ya que \(137 = 7 \times 19 + 4\)).
3. \( 7 \div 4 = 1 \) con residuo \( 3 \) (ya que \(7 = 4 \times 1 + 3\)).
4. \( 4 \div 3 = 1 \) con residuo \( 1 \) (ya que \(4 = 3 \times 1 + 1\)).
5. \( 3 \div 1 = 3 \) con residuo \( 0 \) (ya que \(3 = 1 \times 3 + 0\)).

El MCD es \( 1 \).

### Paso 2: Encontrar \(x\) y \(y\) usando la Identidad de Bézout

**Identidad de Bézout**: Si \( a \) y \( b \) son enteros, no ambos cero, entonces existen enteros \(x\) y \(y\) tales que \( \text{MCD}(a, b) = ax + by \).

Para encontrar \(x\) y \(y\), retrocedemos en los cálculos del algoritmo de Euclides.

1. De \( 1 = 4 - 3 \times 1 \).
   
   Sustituimos \( 3 = 7 - 4 \times 1 \):

   \[
   1 = 4 - (7 - 4 \times 1) = 4 \times 2 - 7
   \]

2. De \( 4 = 137 - 7 \times 19 \):

   \[
   1 = (137 - 7 \times 19) \times 2 - 7 = 137 \times 2 - 7 \times 21
   \]

   Sustituimos \( 7 = 281 - 137 \times 2 \):

   \[
   1 = 137 \times 2 - (281 - 137 \times 2) \times 21 = 137 \times 44 - 281 \times 21
   \]

Por lo tanto, \(x = -21\) y \(y = 44\).

### Respuesta Final

El MCD de \(281\) y \(137\) es \(1\). Los valores de \(x\) y \(y\) que satisfacen la ecuación \( 1 = 281x + 137y \) son \(x = -21\) y \(y = 44\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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4. ¿Qué métodos existen para encontrar soluciones generales para ecuaciones diofánticas lineales?
5. ¿Cómo se relaciona la Identidad de Bézout con la teoría de números y la aritmética modular?

**Tip**: En problemas de ecuaciones diofánticas lineales, siempre verifica si el MCD del par de números divide al término constante para asegurar que hay soluciones enteras.

Calcula (281, 137) y encuentra x, y ∈ Z tales que (281, 137) = 281x+137y. Es necesario que enuncies los teoremas y proposiciones utilizados para calcular el máximo común divisor.

Learn how to calculate the greatest common divisor (GCD) of 281 and 137 using the Euclidean algorithm, and find the integers x and y that satisfy the Diophantine equation 281x + 137y = 1. This problem explores number theory concepts like linear combinations and Bézout's Identity, making it suitable for advanced high school or undergraduate students.

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