Una tienda quiere ofertar 3 tipos de paquetes A, B y C. el paquete A contiene 1 kg de azúcar, 3 kg
de arroz y 2 kg de fideos; el paquete B contiene 2 kg de azúcar, 1 kg de arroz y 6 kg de fideo; el
paquete C contiene 1 kg de cada producto ¿Cuántos paquetes se podrá elaborar si se cuenta con
36 kg de azúcar, 45 kg de arroz, 90 kg de fideos?
Utiliza el método de eliminación gaussiana para resolver el siguiente problema.

Para resolver este problema usando el método de eliminación gaussiana, definamos las variables:

- \( x \) como el número de paquetes del tipo A,
- \( y \) como el número de paquetes del tipo B,
- \( z \) como el número de paquetes del tipo C.

Los paquetes contienen los siguientes productos en las siguientes cantidades:

- Paquete A: \( 1 \) kg de azúcar, \( 3 \) kg de arroz, \( 2 \) kg de fideos.
- Paquete B: \( 2 \) kg de azúcar, \( 1 \) kg de arroz, \( 6 \) kg de fideos.
- Paquete C: \( 1 \) kg de cada producto (azúcar, arroz, fideos).

Se cuenta con:

- 36 kg de azúcar,
- 45 kg de arroz,
- 90 kg de fideos.

Podemos entonces plantear un sistema de ecuaciones basado en las cantidades de cada producto.

### Ecuaciones del sistema:

1. Para el azúcar:
   \[
   1x + 2y + 1z = 36
   \]
2. Para el arroz:
   \[
   3x + 1y + 1z = 45
   \]
3. Para los fideos:
   \[
   2x + 6y + 1z = 90
   \]

### Resolución por eliminación gaussiana

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones paso por paso.

**Paso 1: Matriz aumentada**

La matriz aumentada es:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & | & 36 \\
3 & 1 & 1 & | & 45 \\
2 & 6 & 1 & | & 90
\end{pmatrix}
\]

**Paso 2: Eliminación de la primera columna**

Primero, usaremos la primera fila para eliminar las entradas debajo del primer pivote (el 1 en la posición \(a_{11}\)).

- Restamos 3 veces la primera fila a la segunda fila (\( F_2 - 3F_1 \)):
\[
\text{F}_2 \to (3, 1, 1, 45) - 3(1, 2, 1, 36) = (0, -5, -2, -63)
\]

- Restamos 2 veces la primera fila a la tercera fila (\( F_3 - 2F_1 \)):
\[
\text{F}_3 \to (2, 6, 1, 90) - 2(1, 2, 1, 36) = (0, 2, -1, 18)
\]

Ahora la matriz se ve así:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & | & 36 \\
0 & -5 & -2 & | & -63 \\
0 & 2 & -1 & | & 18
\end{pmatrix}
\]

**Paso 3: Eliminación de la segunda columna**

Usaremos el pivote en la segunda fila, segunda columna (\(-5\)) para eliminar la entrada debajo de él (en la tercera fila).

- Multiplicamos la segunda fila por \(-2/5\) para eliminar la entrada en la tercera fila:
\[
\text{F}_3 \to \text{F}_3 - \left( \frac{2}{-5} \right)\text{F}_2
\]
\[ 
(0, 2, -1, 18) - \frac{2}{-5}(0, -5, -2, -63) = (0, 0, -2.6, 42)
\]



Una tienda quiere ofertar 3 tipos de paquetes A, B y C. El paquete A contiene 1 kg de azúcar, 3 kg de arroz y 2 kg de fideos; el paquete B contiene 2 kg de azúcar, 1 kg de arroz y 6 kg de fideo; el paquete C contiene 1 kg de cada producto ¿Cuántos paquetes se podrá elaborar si se cuenta con 36 kg de azúcar, 45 kg de arroz, 90 kg de fideos? Utiliza el método de eliminación gaussiana para resolver el siguiente problema.

Learn how to solve a real-world problem involving package distribution using Gaussian elimination. A store has 36 kg of sugar, 45 kg of rice, and 90 kg of noodles, and it offers three types of packages containing different amounts of each product. This detailed step-by-step solution covers key concepts in linear algebra and is suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation