Determine o valor de para que o conjunto A={( -7,0,5); (1,-1,x); (2,-3, 9)} pertence R^3 seja linearmente dependente.
Observação: Caso o resultado não seja um número inteiro, apresente sua reposta utilizando um arredondamento com quatro casas decimais.

Para determinar o valor de \( x \) para que o conjunto de vetores \( A = \{ (-7, 0, 5), (1, -1, x), (2, -3, 9) \} \) em \( \mathbb{R}^3 \) seja linearmente dependente, devemos verificar quando o determinante da matriz formada por esses vetores for igual a zero. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.

A matriz formada pelos vetores é:

\[
\mathbf{M} = \begin{pmatrix}
-7 & 0 & 5 \\
1 & -1 & x \\
2 & -3 & 9
\end{pmatrix}
\]

O determinante dessa matriz é dado por:

\[
\text{det}(\mathbf{M}) = -7 \cdot \begin{vmatrix} -1 & x \\ -3 & 9 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & 9 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}
\]

Vamos calcular cada determinante de menor ordem:

\[
\begin{vmatrix} -1 & x \\ -3 & 9 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 9 - x \cdot (-3) = -9 + 3x = 3x - 9
\]

\[
\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2 = -3 + 2 = -1
\]

Substituindo na expressão do determinante:

\[
\text{det}(\mathbf{M}) = -7 \cdot (3x - 9) + 5 \cdot (-1)
\]

Expandindo:

\[
\text{det}(\mathbf{M}) = -21x + 63 - 5
\]

Simplificando:

\[
\text{det}(\mathbf{M}) = -21x + 58
\]

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:

\[
-21x + 58 = 0
\]

Resolvendo para \( x \):

\[
-21x = -58 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{58}{21} \approx 2,7619
\]

Portanto, o valor de \( x \) que torna o conjunto de vetores linearmente dependente é aproximadamente \( x \approx 2,7619 \) quando arredondado para quatro casas decimais.

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

### Perguntas Relacionadas:
1. O que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente?
2. Como o determinante de uma matriz se relaciona com a linearidade dos vetores?
3. Poderia explicar o conceito de base em \( \mathbb{R}^3 \)?
4. Quais seriam as implicações se o valor de \( x \) fosse diferente de \( 2,7619 \)?
5. Como interpretar graficamente vetores linearmente dependentes em \( \mathbb{R}^3 \)?

### Dica:
O determinante é uma ferramenta poderosa para verificar a independência linear. Se o determinante de uma matriz quadrada é zero, os vetores que formam essa matriz estão no mesmo plano ou linha, ou seja, são linearmente dependentes.

Explore how to determine the value of x for which the set of vectors A = {(-7, 0, 5), (1, -1, x), (2, -3, 9)} in R^3 becomes linearly dependent. Understand the role of determinants in linear algebra with detailed calculations and explanations. Suitable for advanced high school students and anyone studying linear algebra concepts.

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