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resolviendo este problema determina su dominio codominio y dibuje la grafica

La función que deseas analizar es:

\[
f(x) = x^2 + 2x - 3
\]

Vamos a resolver el problema paso a paso.

### 1. **Dominio de la función**

Dado que \(f(x)\) es una función polinómica de segundo grado, su dominio es el conjunto de todos los números reales, ya que los polinomios están definidos para cualquier valor de \(x\).

**Dominio:** \( \mathbb{R} \)

### 2. **Codominio de la función**

Para determinar el codominio, necesitamos entender el rango de valores que puede tomar \(f(x)\). Como \(f(x)\) es una parábola con un término cuadrático positivo (\(x^2\)), su forma será una parábola que abre hacia arriba.

El valor mínimo de la función ocurre en el vértice de la parábola. El vértice \(x_v\) de una parábola dada por \(f(x) = ax^2 + bx + c\) se encuentra en:

\[
x_v = -\frac{b}{2a}
\]

En nuestro caso, \(a = 1\) y \(b = 2\), entonces:

\[
x_v = -\frac{2}{2(1)} = -1
\]

Para encontrar el valor de \(f(x)\) en el vértice:

\[
f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
\]

Esto nos dice que el valor mínimo de \(f(x)\) es \(-4\). Como la parábola abre hacia arriba, el codominio será todos los valores reales mayores o iguales a \(-4\).

**Codominio:** \([ -4, \infty )\)

### 3. **Trazar la gráfica de la función**

La gráfica de \(f(x) = x^2 + 2x - 3\) es una parábola con los siguientes puntos importantes:

- **Vértice:** El vértice se encuentra en \((-1, -4)\).
- **Intersecciones con el eje \(x\):** Para encontrar dónde la función cruza el eje \(x\), resolvemos \(f(x) = 0\):

\[
x^2 + 2x - 3 = 0
\]

Factorizamos la ecuación cuadrática:

\[
(x + 3)(x - 1) = 0
\]

Por lo tanto, las raíces son \(x = -3\) y \(x = 1\).

- **Intersección con el eje \(y\):** Esto ocurre cuando \(x = 0\):

\[
f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3
\]

### Gráfica:
La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, con un vértice en \((-1, -4)\) y que cruza el eje \(x\) en \(-3\) y \(1\). Cruza el eje \(y\) en \(-3\).

¿Te gustaría ver una gráfica detallada de esta parábola?

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