tất cả các giá trị của m để đths y = x^2-1/x^2+2mx-m có 3 đường tiệm cận là

Để tìm tất cả các giá trị của \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2mx - m} \) có 3 đường tiệm cận, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xét đường tiệm cận ngang
- Xét giới hạn của \( y \) khi \( x \) tiến đến vô cùng:

\[
\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2mx - m} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2m}{x} - \frac{m}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1
\]

Vậy \( y = 1 \) là một đường tiệm cận ngang của hàm số.

### Bước 2: Xét đường tiệm cận đứng
- Để hàm số có tiệm cận đứng, mẫu số phải bằng 0 và tử số khác 0:

\[
x^2 + 2mx - m = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này để tìm nghiệm:

\[
x = \frac{-2m \pm \sqrt{(2m)^2 + 4m}}{2} = \frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 + 4m}}{2} = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m^2 + m}}{2} = -m \pm \sqrt{m^2 + m}
\]

Vậy \( x_1 = -m + \sqrt{m^2 + m} \) và \( x_2 = -m - \sqrt{m^2 + m} \).

Để đồ thị có 3 đường tiệm cận, cần có 2 tiệm cận đứng (tương ứng với hai nghiệm khác nhau của phương trình trên) và 1 tiệm cận ngang.

### Bước 3: Điều kiện có hai nghiệm khác nhau
- Điều kiện để có hai nghiệm khác nhau là \( m^2 + m > 0 \).

\[
m(m + 1) > 0
\]

Từ bất phương trình này, ta có:

\[
m < -1 \quad \text{hoặc} \quad m > 0
\]

### Kết luận:
Vậy, tất cả các giá trị của \( m \) sao cho đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận là \( m < -1 \) hoặc \( m > 0 \).

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết về bài toán này không? Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

1. Tại sao hàm số lại có tiệm cận ngang khi \( m \) thỏa mãn điều kiện trên?
2. Tiệm cận đứng có thể xuất hiện trong những trường hợp nào?
3. Tại sao phương trình bậc hai \( x^2 + 2mx - m \) lại phải có hai nghiệm khác nhau?
4. Khi \( m = -1 \), có gì đặc biệt xảy ra với đồ thị hàm số?
5. Đồ thị hàm số có thể có số lượng tiệm cận khác không?

**Mẹo:** Khi giải phương trình bậc hai, đừng quên xét dấu của các hệ số để tìm nghiệm một cách chính xác!

Explore how to determine all values of m for the function y = (x^2 - 1) / (x^2 + 2mx - m) that has 3 asymptotes. This detailed analysis covers quadratic equations, limits, and inequalities. Suitable for high school students studying algebra and calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation