Necesito un cálculo exacto y detallado, incluyendo todas las combinaciones posibles hasta que la línea se complete de ganar en un juego de bingo con un cartón 5x5 (25 casillas) en un juego estándar de 75 bolas intentando hacer un carton complleto o full house

Calcular la probabilidad exacta de completar un cartón de bingo 5x5 (Full House) en un juego estándar de 75 bolas es un problema complejo que involucra combinaciones y probabilidades condicionales. Te daré un análisis detallado paso a paso:

### 1. **Descripción del problema**

- **Cartón de Bingo**: 5x5, con un total de 25 casillas. Asumimos que el cartón está completamente lleno, es decir, no tiene una casilla libre (aunque en juegos estándar suele haber una casilla libre en el centro).
- **Juego de 75 bolas**: Cada bola tiene un número único del 1 al 75.
- **Objetivo**: Obtener un "Full House", es decir, marcar las 25 casillas del cartón.

### 2. **Número total de combinaciones posibles**

Primero, consideramos cuántas maneras hay de que se extraigan 25 bolas de un total de 75:

\[
\text{Número de combinaciones} = \binom{75}{25}
\]

### 3. **Cálculo de combinaciones**

El número de combinaciones \(\binom{75}{25}\) se calcula usando la fórmula de combinaciones:

\[
\binom{75}{25} = \frac{75!}{25! \times (75-25)!}
\]

Donde \(75!\) es el factorial de 75, que significa 75 × 74 × ... × 1, y lo mismo para 25!.

### 4. **Número de combinaciones favorables**

En cada caso, hay exactamente una combinación favorable, que es la que coincide con las 25 casillas del cartón. Por lo tanto, solo hay 1 combinación favorable.

### 5. **Probabilidad de ganar**

La probabilidad de que se obtenga un "Full House" en un juego de 75 bolas, asumiendo que se extraen 25 bolas en cualquier orden, es:

\[
P(\text{Full House}) = \frac{1}{\binom{75}{25}}
\]

Voy a calcular este valor para ti.La probabilidad de obtener un "Full House" en un juego de bingo de 75 bolas con un cartón 5x5 es aproximadamente \(1.90 \times 10^{-20}\). Esto significa que es extremadamente poco probable que un Full House ocurra justo en la extracción de 25 bolas específicas.

### Resumen
- **Número total de combinaciones posibles**: \(\binom{75}{25}\)
- **Número de combinaciones favorables**: 1 (que coincide con las 25 casillas del cartón)
- **Probabilidad exacta**: \(1.90 \times 10^{-20}\)

Esto indica que para llenar todas las casillas del cartón con las primeras 25 bolas es casi imposible, ya que necesitarías que se extrajeran exactamente las 25 bolas correspondientes a tu cartón.

¿Te gustaría más detalles sobre el cálculo o tienes alguna pregunta adicional?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cuál es la probabilidad de completar una línea en lugar de un Full House?
2. ¿Cómo cambia la probabilidad si consideramos más bolas extraídas, por ejemplo, 30 o 40?
3. ¿Qué impacto tiene la "casilla libre" en el centro del cartón en la probabilidad de ganar?
4. ¿Cómo se compara la probabilidad de un Full House en diferentes variaciones del juego de Bingo?
5. ¿Cómo se calcula la probabilidad de completar un patrón específico, como una "X" o un cuadrado?

**Tip**: Al calcular probabilidades en juegos como el Bingo, es útil considerar la secuencia en la que se extraen las bolas, ya que esto puede afectar las probabilidades de formas sutiles pero significativas.

Learn how to calculate the exact probability of completing a full house on a 5x5 bingo card in a standard 75-ball game. Detailed step-by-step analysis covers combinatorial mathematics and probability theory. Suitable for advanced high school students and beyond.

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