Dado que la función es \( f(x) = \frac{x + 2}{x - 1} \), analicemos los siguientes elementos:

### 1. **Dominio**
El dominio de la función se refiere a todos los valores de \( x \) para los cuales la función está definida. La función no estará definida cuando el denominador sea cero.

\[
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Entonces, el dominio de la función es:

\[
\text{Dominio: } \mathbb{R} \setminus \{1\}
\]

### 2. **Rango**
Para determinar el rango de la función, examinamos los valores que puede tomar \( f(x) \). La función es una fracción, por lo que el rango será todos los números reales excepto aquellos valores que la función no puede alcanzar.

Como la función es una fracción donde tanto el numerador como el denominador son lineales, y no hay términos que puedan cancelar la fracción, el rango será:

\[
\text{Rango: } \mathbb{R}
\]

### 3. **Corte con el eje \( y \)**
El corte con el eje \( y \) ocurre cuando \( x = 0 \).

\[
f(0) = \frac{0 + 2}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2
\]

Por lo tanto, el corte con el eje \( y \) es en el punto:

\[
\text{Corte con el eje } y: (0, -2)
\]

### 4. **Corte con el eje \( x \)**
El corte con el eje \( x \) ocurre cuando \( f(x) = 0 \). Esto ocurre cuando el numerador es cero.

\[
x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]

Por lo tanto, el corte con el eje \( x \) es en el punto:

\[
\text{Corte con el eje } x: (-2, 0)
\]

### 5. **Asíntotas horizontales y/o verticales**
- **Asíntota vertical**: Las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador se aproxima a cero, pero el numerador no. Como vimos en el análisis del dominio:

\[
x = 1
\]

Hay una asíntota vertical en \( x = 1 \).

- **Asíntota horizontal**: Para encontrar la asíntota horizontal, examinamos el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a infinito:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1 + \frac{2}{x})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \frac{1}{1} = 1
\]

Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en:

\[
y = 1
\]

---

¿Te gustaría que explique algún detalle con mayor profundidad o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se grafica esta función considerando sus asíntotas y cortes con los ejes?
2. ¿Qué cambios ocurren en el dominio y rango si la función se modifica a \( f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 1} \)?
3. ¿Qué ocurre con las propiedades de la función si el numerador tiene un grado mayor al denominador?
4. ¿Cómo podemos determinar las intersecciones con los ejes de funciones más complejas?
5. ¿Por qué la asíntota horizontal de esta función es \( y = 1 \) y cómo se relaciona con la pendiente de la función?

### Tip:
Recuerda que las intersecciones con los ejes y las asíntotas son claves para comprender el comportamiento de la gráfica de una función.

Explore the analysis of the rational function f(x) = (x + 2) / (x - 1), including its domain, range, intercepts with axes, and asymptotes. This detailed study covers fundamental concepts in functions and rational functions, suitable for advanced high school students and beyond.

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