Sea la función paramétrica f: (x = cos(t) y= sin(t)



Obtener:

i.una función explícita, su dominio y su rango

ii. la regla de correspondencia, el dominio y rango de su función inversa con pasos y si fuera hipotético si se podría sacar la función inversa 

Dada la función paramétrica \( f \) definida como:

\[
x = \cos(t)
\]
\[
y = \sin(t)
\]

### i. Obtener la función explícita, su dominio y su rango

**Paso 1: Relación explícita entre \( x \) y \( y \)**

Tenemos las ecuaciones paramétricas:
- \( x = \cos(t) \)
- \( y = \sin(t) \)

Sabemos que existe una identidad trigonométrica fundamental:
\[
\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1
\]

Podemos utilizar esta identidad para relacionar directamente \( x \) y \( y \). Reemplazando \( \cos(t) \) por \( x \) y \( \sin(t) \) por \( y \):
\[
x^2 + y^2 = 1
\]
Esto es la ecuación de un círculo con centro en \( (0, 0) \) y radio 1.

Por lo tanto, la **función explícita** es:
\[
x^2 + y^2 = 1
\]

**Dominio y rango:**

La ecuación \( x^2 + y^2 = 1 \) describe un círculo, y el dominio y el rango corresponden a los valores posibles de \( x \) y \( y \) que satisfacen la ecuación de dicho círculo.

- **Dominio:** Los valores de \( x \) deben satisfacer \( -1 \leq x \leq 1 \), ya que es la proyección del círculo sobre el eje \( x \).
- **Rango:** Los valores de \( y \) también deben satisfacer \( -1 \leq y \leq 1 \), ya que es la proyección del círculo sobre el eje \( y \).

En resumen:
- **Dominio:** \( -1 \leq x \leq 1 \)
- **Rango:** \( -1 \leq y \leq 1 \)

### ii. La regla de correspondencia, el dominio y rango de su función inversa

Para encontrar la función inversa, generalmente intercambiamos \( x \) y \( y \). Sin embargo, en este caso, la relación \( x^2 + y^2 = 1 \) no define una función en el sentido clásico (una función debe ser inyectiva, es decir, cada valor de \( x \) debe estar asociado a un solo valor de \( y \)).

La relación \( x^2 + y^2 = 1 \) no es inyectiva porque para un valor de \( x \) pueden existir dos valores de \( y \) (uno positivo y otro negativo), lo que hace imposible definir una única función inversa que relacione a \( x \) con un solo valor de \( y \).

**Paso 1: Hipótesis sobre la función inversa en partes**

Aunque no es posible definir una única función inversa para toda la circunferencia, sí podemos definir una función inversa en secciones, es decir, podemos definir la inversa en semicírculos.

- **Semicírculo superior (\( y \geq 0 \)):** En el semicírculo superior, podemos despejar \( y \) como función de \( x \):
  \[
  y = \sqrt{1 - x^2}
  \]
  Esta es la función inversa para el semicírculo superior.

- **Semicírculo inferior (\( y \leq 0 \)):** En el semicírculo inferior, podemos despejar \( y \) como:
  \[
  y = -\sqrt{1 - x^2}
  \]
  Esta es la función inversa para el semicírculo inferior.

**Paso 2: Dominio y rango de la función inversa**

- **Dominio de la función inversa:** Como ambas funciones inversas (\( y = \sqrt{1 - x^2} \) y \( y = -\sqrt{1 - x^2} \)) dependen de \( x^2 \), el dominio sigue siendo el mismo para ambas: 
  \[
  -1 \leq x \leq 1
  \]

- **Rango de la función inversa:**
  - Para la función inversa en el semicírculo superior (\( y = \sqrt{1 - x^2} \)): El rango es \( 0 \leq y \leq 1 \).
  - Para la función inversa en el semicírculo inferior (\( y = -\sqrt{1 - x^2} \)): El rango es \( -1 \leq y \leq 0 \).

**Conclusión sobre la inversa completa:**

No podemos encontrar una única función inversa para toda la circunferencia, pero podemos dividir el círculo en dos semicírculos (superior e inferior) y obtener funciones inversas para cada una de esas partes.

**Resumen:**
- **Función explícita:** \( x^2 + y^2 = 1 \)
- **Dominio:** \( -1 \leq x \leq 1 \)
- **Rango:** \( -1 \leq y \leq 1 \)
- **Función inversa:**
  - Semicírculo superior: \( y = \sqrt{1 - x^2} \)
  - Semicírculo inferior: \( y = -\sqrt{1 - x^2} \)
- **Dominio de la función inversa:** \( -1 \leq x \leq 1 \)
- **Rango de la función inversa:**
  - Para el semicírculo superior: \( 0 \leq y \leq 1 \)
  - Para el semicírculo inferior: \( -1 \leq y \leq 0 \)

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda específica?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se puede parametrizar un círculo que no esté centrado en el origen?
2. ¿Qué ocurre con las funciones inversas de una elipse parametrizada?
3. ¿Cómo se puede restringir el dominio de una función para garantizar que tenga inversa?
4. ¿Cómo cambiaría la ecuación si el círculo tuviera un radio diferente?
5. ¿Cómo se deriva una función paramétrica como esta?

### Tip:
Al trabajar con funciones paramétricas, es importante visualizar las curvas que definen para comprender su comportamiento, especialmente cuando se trata de encontrar la inversa.

Explore parametric equations with detailed steps to find explicit functions, inverse functions, and their domains. Learn how to derive the explicit function x^2 + y^2 = 1 from x = cos(t) and y = sin(t). Discover the challenges in defining the inverse function due to non-injectivity. Suitable for advanced high school students and anyone interested in parametric equations and trigonometry.

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