Necesito un cálculo exacto y detallado, incluyendo todas las combinaciones posibles hasta que la línea se complete de ganar en un juego de bingo con un cartón 5x5 (25 casillas) en un juego estándar de 75 bolas intentando hacer un carton complleto o full house con operaciones y resultados      

Para calcular la probabilidad exacta y detallada de obtener un Full House (completar todas las casillas) en un juego de bingo de 75 bolas con un cartón de 5x5, vamos a seguir estos pasos:

### Paso 1: **Entender el problema**

Queremos calcular la probabilidad de completar un cartón de 5x5, que tiene 25 casillas, en un juego de bingo con 75 bolas disponibles.

- **Cartón**: 25 casillas.
- **Bolas disponibles**: 75.
- **Objetivo**: Obtener un Full House.

### Paso 2: **Combinaciones posibles**

Primero, debemos calcular cuántas combinaciones posibles existen para seleccionar 25 bolas de un conjunto de 75.

La fórmula para calcular combinaciones es:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

Para nuestro caso:

\[
\binom{75}{25} = \frac{75!}{25!(75-25)!}
\]

### Paso 3: **Combinaciones favorables**

La combinación favorable es aquella en la que las 25 bolas coinciden exactamente con las 25 posiciones del cartón. Dado que estamos tratando de obtener un Full House, solo hay **1 combinación favorable**.

### Paso 4: **Probabilidad**

La probabilidad de obtener un Full House en 25 bolas específicas se calcula como la razón entre las combinaciones favorables y las combinaciones totales posibles:

\[
P(\text{Full House}) = \frac{1}{\binom{75}{25}}
\]

Voy a calcular el valor exacto de \(\binom{75}{25}\) y la probabilidad. Luego, verificaremos el resultado.

### Paso 5: **Cálculo de la probabilidad**

Vamos a realizar los cálculos paso a paso.### Resultados exactos

1. **Número total de combinaciones posibles** para seleccionar 25 bolas de un conjunto de 75:

   \[
   \binom{75}{25} = 52,588,547,141,148,893,628
   \]

2. **Probabilidad exacta** de obtener un Full House en las primeras 25 bolas extraídas:

   \[
   P(\text{Full House}) = \frac{1}{52,588,547,141,148,893,628} \approx 1.90 \times 10^{-20}
   \]

### Explicación detallada

- **Combinaciones posibles**: Esto representa todas las formas posibles de seleccionar 25 bolas de un total de 75. El número es extremadamente grande, lo que refleja la vasta cantidad de posibles combinaciones.

- **Combinación favorable**: Hay exactamente una combinación favorable, que es la que coincide con todas las 25 posiciones del cartón.

- **Probabilidad**: Dada la vastedad de combinaciones posibles, la probabilidad de obtener un Full House en las primeras 25 bolas es extremadamente baja, como se esperaba.

### Resumen

La probabilidad de ganar un Full House en un bingo de 75 bolas con un cartón de 5x5, considerando solo las primeras 25 bolas, es muy pequeña, aproximadamente \(1.90 \times 10^{-20}\). Esto muestra que completar el cartón en exactamente 25 bolas es casi imposible debido a la enorme cantidad de combinaciones posibles.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo cambia la probabilidad si consideramos más de 25 bolas, por ejemplo, 30 o 40?
2. ¿Cuál es la probabilidad de completar una línea antes de un Full House?
3. ¿Cómo afecta la inclusión de una casilla libre en el centro a la probabilidad?
4. ¿Cuántas combinaciones son posibles si sólo se quiere completar una columna o fila?
5. ¿Cómo se comparan estas probabilidades con otras variaciones de juegos de bingo?

**Tip**: Al calcular probabilidades para diferentes escenarios, considera siempre cómo cambia el número de combinaciones posibles. Esto te dará una mejor idea de las probabilidades reales en situaciones de la vida real.

Learn how to calculate the exact and detailed probability of achieving a Full House in a 5x5 bingo card with 75 balls. Detailed step-by-step solution including the number of possible combinations and exact probability values. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

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