Selecciona la opción que contiene el valor de x en donde la función 
    tiene un mínimo relativo

 F=4x^3-10x^2-8x+3

Grupo de opciones de respuesta

x= - 1/3

x= - 2

x=1/3

x= 1

x=2

Para encontrar el valor de \( x \) en donde la función \( F(x) = 4x^3 - 10x^2 - 8x + 3 \) tiene un mínimo relativo, necesitamos seguir estos pasos:

1. **Calcular la derivada de la función** para encontrar los puntos críticos:
   \[
   F'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 10x^2 - 8x + 3) = 12x^2 - 20x - 8
   \]

2. **Igualar la derivada a cero** para encontrar los puntos críticos:
   \[
   12x^2 - 20x - 8 = 0
   \]

   Simplificando la ecuación dividiendo todo entre 4:
   \[
   3x^2 - 5x - 2 = 0
   \]

3. **Resolver la ecuación cuadrática** utilizando la fórmula general:
   \[
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   \]
   Donde \( a = 3 \), \( b = -5 \), y \( c = -2 \).

   \[
   x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)}
   \]
   \[
   x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}
   \]
   \[
   x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6}
   \]
   \[
   x = \frac{5 \pm 7}{6}
   \]

   Esto da dos soluciones:
   \[
   x = \frac{12}{6} = 2 \quad \text{y} \quad x = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}
   \]

4. **Determinar cuál de estos puntos es un mínimo relativo**. Para ello, calculamos la segunda derivada \( F''(x) \):
   \[
   F''(x) = \frac{d}{dx}(12x^2 - 20x - 8) = 24x - 20
   \]

   Evaluamos \( F''(x) \) en los puntos críticos:

   - Para \( x = 2 \):
     \[
     F''(2) = 24(2) - 20 = 48 - 20 = 28 \quad (\text{positivo, por lo que hay un mínimo})
     \]

   - Para \( x = -\frac{1}{3} \):
     \[
     F''(-\frac{1}{3}) = 24(-\frac{1}{3}) - 20 = -8 - 20 = -28 \quad (\text{negativo, por lo que hay un máximo})
     \]

Por lo tanto, el valor de \( x \) en donde la función tiene un **mínimo relativo** es **\( x = 2 \)**.

### Respuesta: 
**x = 2**

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta geométricamente el mínimo relativo?
2. ¿Qué pasa si la segunda derivada es igual a cero en un punto crítico?
3. ¿Cómo se relaciona el signo de la segunda derivada con la concavidad de la función?
4. ¿Puedes tener más de un mínimo relativo en una función cúbica?
5. ¿Qué significaría si ambos puntos críticos resultaran en máximos relativos?

**Tip**: Los puntos críticos se pueden clasificar como mínimos, máximos o puntos de inflexión, dependiendo del signo de la segunda derivada en esos puntos.

Discover how to find the relative minimum of the cubic function F(x) = 4x^3 - 10x^2 - 8x + 3 using calculus and the second derivative test. Learn step-by-step with clear examples and explanations. Suitable for college-level calculus students.

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