En el espacio vectorial P3(t)
 dotado del producto interno usual, considere el subespacio vectorial:

W={a+(a+10b)t+(5a−b)t2+bt3:a,b∈R}

Encuentre el subespacio vectorial W⊥
. Recuerde que W⊥
 es el complemento ortogonal de W
.

Nota: escriba las ecuaciones igualadas a cero en el siguiente formato {ecuación1 = 0, ecuación2 = 0, .... , ecuaciónn = 0}

W⊥={a+bt+ct2+dt3:


Para encontrar el complemento ortogonal \( W^\perp \) del subespacio vectorial \( W \) en el espacio vectorial \( P_3(t) \), utilizamos la definición del complemento ortogonal. Esto implica que cualquier polinomio en \( W^\perp \) es ortogonal a todos los polinomios en \( W \) con respecto al producto interno usual.

Dado que \( W = \{a + (a + 10b)t + (5a - b)t^2 + bt^3 : a, b \in \mathbb{R}\} \), cualquier polinomio en \( W \) tiene la forma \( p(t) = a + (a + 10b)t + (5a - b)t^2 + bt^3 \).

Sea un polinomio general en \( P_3(t) \), \( q(t) = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + c_3 t^3 \), perteneciente a \( W^\perp \). Esto significa que el producto interno de \( p(t) \) con \( q(t) \) debe ser cero para cualquier \( p(t) \) en \( W \).

El producto interno usual en \( P_3(t) \) está definido como:
\[
\langle p(t), q(t) \rangle = \int_{-1}^{1} p(t) q(t) \, dt.
\]
Sin embargo, debido a la ortogonalidad, podemos escribir:
\[
\langle p(t), q(t) \rangle = c_0 a + c_1(a + 10b) + c_2(5a - b) + c_3b = 0
\]
para todo \( a, b \in \mathbb{R} \).

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:

Para \( a = 1 \) y \( b = 0 \):
\[
c_0 + c_1 + 5c_2 = 0
\]

Para \( a = 0 \) y \( b = 1 \):
\[
10c_1 - c_2 + c_3 = 0
\]

Para \( a = 1 \) y \( b = 1 \):
\[
c_0 + (c_1 + 10c_1) + (5c_2 - c_2) + c_3 = 0
\]
que se simplifica como:
\[
c_0 + 11c_1 + 4c_2 + c_3 = 0
\]

Así, las ecuaciones para determinar el complemento ortogonal \( W^\perp \) son:

\[
W^\perp = \{c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + c_3 t^3 : \{c_0 + c_1 + 5c_2 = 0, 10c_1 - c_2 + c_3 = 0, c_0 + 11c_1 + 4c_2 + c_3 = 0\}\}
\]

Esto representa el subespacio vectorial \( W^\perp \) en \( P_3(t) \).

¿Deseas detalles adicionales sobre este cálculo o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para seguir practicando:
1. ¿Cómo se define el producto interno usual en \( P_3(t) \)?
2. ¿Qué significa que un polinomio sea ortogonal a otro en el contexto de un producto interno?
3. ¿Qué papel juega el producto interno en la determinación del complemento ortogonal?
4. ¿Cómo se pueden generalizar estos conceptos a espacios vectoriales de mayor dimensión?
5. ¿Qué aplicaciones tienen los conceptos de ortogonalidad y complementos ortogonales en otras áreas de las matemáticas?

**Tip:** La ortogonalidad en espacios vectoriales es clave en muchas áreas de la matemática aplicada, incluyendo la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y la optimización.

Learn how to find the orthogonal complement of the subspace W in the vector space P3(t) using inner product definitions and polynomial equations. This problem involves advanced concepts in vector spaces and orthogonality.

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