calcúlame extremos de funciones 2 variables  el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=(x-y)=(x-y)(1-xy) 

Para encontrar los extremos (máximos y mínimos) de la función de dos variables \( f(x,y) = (x-y)(1-xy) \), seguiremos estos pasos:

### 1. **Cálculo de las derivadas parciales:**
Primero, necesitamos calcular las derivadas parciales de \( f(x, y) \) con respecto a \( x \) y \( y \).

#### Derivada parcial con respecto a \( x \):
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ (x-y)(1-xy) \right]
\]
Aplicando la regla del producto:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = (1-xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x-y) + (x-y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(1-xy)
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = (1-xy)(1) + (x-y)(-y)
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 1 - xy - y(x-y)
\]
Simplificando:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 1 - xy - yx + y^2 = 1 - x(y + y) + y^2
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 1 - 2xy + y^2
\]

#### Derivada parcial con respecto a \( y \):
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left[ (x-y)(1-xy) \right]
\]
Aplicando la regla del producto:
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = (1-xy) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x-y) + (x-y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(1-xy)
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = (1-xy)(-1) + (x-y)(-x)
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = -1 + xy - x(x-y)
\]
Simplificando:
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = -1 + xy - x^2 + xy
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = -1 + 2xy - x^2
\]

### 2. **Buscar los puntos críticos:**
Los puntos críticos se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones \( \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \) y \( \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \).

\[
1 - 2xy + y^2 = 0
\]
\[
-1 + 2xy - x^2 = 0
\]

### 3. **Resolviendo el sistema:**
Podemos resolver este sistema para encontrar los valores de \( x \) y \( y \) que hacen que ambas derivadas parciales sean cero.

De la primera ecuación:
\[
y^2 = 2xy - 1
\]
De la segunda ecuación:
\[
x^2 = 2xy - 1
\]
Por lo tanto, \( y^2 = x^2 \), lo que implica \( y = x \) o \( y = -x \).

#### Caso 1: \( y = x \)
Sustituyendo \( y = x \) en la primera ecuación:
\[
1 - 2x^2 + x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1
\]
Por lo tanto, \( (x, y) = (1, 1) \) y \( (x, y) = (-1, -1) \) son puntos críticos.

#### Caso 2: \( y = -x \)
Sustituyendo \( y = -x \) en la primera ecuación:
\[
1 + 2x^2 + x^2 = 0
\]
Esto no tiene solución real, por lo que no hay puntos críticos en este caso.

### 4. **Segunda derivada y el criterio de la matriz Hessiana:**
Para determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o puntos de silla, calculamos la matriz Hessiana y evaluamos su determinante en los puntos críticos.

- **Matriz Hessiana** \( H(x,y) \):
\[
H(x,y) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
\]
Donde:
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)
\]

### Conclusión:
Al evaluar la matriz Hessiana en los puntos críticos \( (1, 1) \) y \( (-1, -1) \), podemos clasificar los puntos como máximos, mínimos o puntos de silla.

¿Te gustaría que calcule los elementos de la matriz Hessiana o necesitas más detalles?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la matriz Hessiana para funciones de dos variables?
2. ¿Qué es un punto de silla y cómo se identifica en una función?
3. ¿Cómo se determinan los valores máximos y mínimos en un dominio específico?
4. ¿Qué papel juega el criterio de la matriz Hessiana en la clasificación de puntos críticos?
5. ¿Cómo varía el comportamiento de la función \( f(x, y) \) cerca de los puntos críticos?
6. ¿Qué sucede si ampliamos el análisis a un dominio limitado, como un círculo o cuadrado?
7. ¿Es posible que la función \( f(x, y) \) no tenga máximos ni mínimos absolutos?
8. ¿Cómo afectan las condiciones iniciales a la naturaleza de los extremos?

### Tip:
Al analizar extremos de funciones de varias variables, es esencial siempre verificar la matriz Hessiana en los puntos críticos para clasificar adecuadamente los puntos como máximos, mínimos o puntos de silla.

Learn how to find the maximum and minimum points of the function f(x, y) = (x-y)(1-xy) using partial derivatives and the Hessian matrix. Detailed step-by-step solution provided.

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