Existencia y no existencia de l ́ımites
Para el campo escalar f(x), determine la existencia o no existencia del l ́ımite
limx→0
f(x): 13. f(x, y, z) = xy + yz2 + xz2

x
2 + y
2 + z

Para determinar la existencia o no existencia del límite

\[
\lim_{\mathbf{r} \to 0} f(x, y, z)
\]

donde \( f(x, y, z) = \frac{xy + yz^2 + xz^2}{x^2 + y^2 + z} \), necesitamos analizar cómo se comporta la función cuando el punto \( (x, y, z) \) se aproxima al origen \( (0, 0, 0) \).

### Paso 1: Evaluar el límite en trayectorias específicas

Comenzamos evaluando el límite cuando nos aproximamos al origen a lo largo de diferentes trayectorias.

#### Trayectoria 1: \( y = 0 \) y \( z = 0 \)

Si tomamos \( y = 0 \) y \( z = 0 \), la función se reduce a:

\[
f(x, 0, 0) = \frac{x \cdot 0 + 0 \cdot 0^2 + x \cdot 0^2}{x^2 + 0^2 + 0} = \frac{0}{x^2} = 0
\]

El límite en esta trayectoria es:

\[
\lim_{x \to 0} f(x, 0, 0) = 0
\]

#### Trayectoria 2: \( x = 0 \) y \( y = 0 \)

Si tomamos \( x = 0 \) y \( y = 0 \), la función se reduce a:

\[
f(0, 0, z) = \frac{0 \cdot 0 + 0 \cdot z^2 + 0 \cdot z^2}{0^2 + 0^2 + z} = 0
\]

El límite en esta trayectoria es:

\[
\lim_{z \to 0} f(0, 0, z) = 0
\]

#### Trayectoria 3: \( z = 0 \)

Si tomamos \( z = 0 \), la función se reduce a:

\[
f(x, y, 0) = \frac{xy + y \cdot 0^2 + x \cdot 0^2}{x^2 + y^2 + 0} = \frac{xy}{x^2 + y^2}
\]

Este límite puede depender de la dirección en la que nos acercamos al origen. Tomemos \( y = x \) para ver qué ocurre:

\[
f(x, x, 0) = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}
\]

Aquí vemos que el límite es \( \frac{1}{2} \).

### Paso 2: Conclusión sobre la existencia del límite

Ya que el límite depende de la trayectoria que tomemos para aproximarnos al origen, es decir, el límite no es el mismo en todas las trayectorias, **el límite no existe**. Esto se debe a que para que el límite exista, debe ser igual en todas las posibles trayectorias hacia el punto de interés.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Qué significa que un límite dependa de la trayectoria?
2. ¿Cómo se determina la existencia de un límite en funciones de varias variables?
3. ¿Qué es un contraejemplo en la evaluación de límites?
4. ¿Cómo afecta el comportamiento en diferentes trayectorias a la existencia del límite?
5. ¿Cuándo podemos decir que un límite no existe formalmente?
6. ¿Cuáles son algunos métodos avanzados para evaluar límites complicados?
7. ¿Qué es un límite direccional y cómo se relaciona con la existencia del límite?
8. ¿Cómo se pueden usar coordenadas polares para analizar límites en funciones de varias variables?

**Tip:** Para evaluar la existencia de límites en varias variables, siempre prueba diferentes trayectorias hacia el punto de interés para identificar si el límite es consistente.

Explore the determination of the existence or non-existence of limits in multivariable functions. This problem involves analyzing the behavior of the function as it approaches the origin through various trajectories. Learn about the limit definition and how it applies to functions of multiple variables. Suitable for university-level mathematics.

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