On considère la fonction
f
définie sur
6 ; 6
par
 
2
f x x x     0,25 2 4.
1) Calculer
f x ' .  
2) Etudier le signe de
f x ' .  
3) Dresser le tableau de variation de
f
sur
6 ; 6 .

Nous considérons la fonction \( f(x) = 0,25x^2 + 2x + 4 \), définie sur l'intervalle \([-6 ; 6]\). Nous allons répondre aux trois questions demandées étape par étape :

### 1) Calculer \( f'(x) \)
Pour calculer la dérivée de \( f(x) \), on applique les règles de dérivation classiques :

\[
f(x) = 0,25x^2 + 2x + 4
\]

- La dérivée de \( 0,25x^2 \) est \( 2 \times 0,25x = 0,5x \).
- La dérivée de \( 2x \) est \( 2 \).
- La dérivée de la constante \( 4 \) est \( 0 \).

Ainsi, la dérivée \( f'(x) \) est donnée par :

\[
f'(x) = 0,5x + 2
\]

### 2) Étudier le signe de \( f'(x) \)

Nous avons \( f'(x) = 0,5x + 2 \). Étudions maintenant le signe de \( f'(x) \).

\[
f'(x) = 0,5x + 2 = 0
\]

Résolvons cette équation pour trouver les valeurs critiques :

\[
0,5x + 2 = 0
\]
\[
0,5x = -2
\]
\[
x = -4
\]

Le signe de \( f'(x) \) dépend du signe de \( 0,5x + 2 \) :

- Pour \( x < -4 \), \( 0,5x + 2 < 0 \), donc \( f'(x) < 0 \).
- Pour \( x = -4 \), \( f'(x) = 0 \).
- Pour \( x > -4 \), \( 0,5x + 2 > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \).

### 3) Dresser le tableau de variation de \( f(x) \) sur \([-6 ; 6]\)

Pour dresser le tableau de variation, nous devons prendre en compte le signe de la dérivée :

- Pour \( x < -4 \), \( f'(x) < 0 \), donc \( f(x) \) est décroissante.
- Pour \( x = -4 \), \( f'(x) = 0 \), il y a un extremum local (minimum ici).
- Pour \( x > -4 \), \( f'(x) > 0 \), donc \( f(x) \) est croissante.

Le tableau de variation est donc le suivant :

|  \(x\)  |  \(-6\)  |      |  \(-4\)  |      |  \(6\)   |
|:-------:|:--------:|:----:|:--------:|:----:|:--------:|
|  \(f'(x)\) |     -    | ↓    |   0     | ↑    |    +     |
|  \(f(x)\)  |          |      | minimum |      |          |

Le minimum de \( f(x) \) est atteint en \( x = -4 \). Pour connaître la valeur de ce minimum, il suffit de calculer \( f(-4) \) :

\[
f(-4) = 0,25(-4)^2 + 2(-4) + 4 = 0,25(16) - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0
\]

Donc, le minimum est \( f(-4) = 0 \).

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur une étape ?

Voici 5 questions relatives pour approfondir :
1. Comment interpréter le signe de la dérivée dans l'étude de la monotonie ?
2. Pourquoi le minimum est atteint en \( x = -4 \) ?
3. Que se passerait-il si le coefficient de \( x^2 \) était négatif ?
4. Comment pourrait-on calculer les points d'inflexion pour une fonction cubique ?
5. Comment tracer graphiquement \( f(x) \) à partir du tableau de variation ?

**Tip :** La dérivée d'une fonction permet de déterminer les intervalles de croissance et décroissance, ainsi que les extrema (maximums ou minimums).

On considère la fonction f définie sur [−6 ; 6] par f(x) = 0,25x² + 2x + 4. 1) Calculer f'(x). 2) Étudier le signe de f'(x). 3) Dresser le tableau de variation de f sur [−6 ; 6].

Découvrez l'étude complète de la fonction quadratique f(x) = 0,25x² + 2x + 4 sur l'intervalle [−6 ; 6]. Apprenez à calculer sa dérivée, étudier le signe de f'(x), et dresser le tableau de variation. Convient aux élèves de 10e à 12e année.

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