Se sabe que la suma de los dos primeros términos de una Progresion Geometrica es igual a 4/27 y que la razón es el triple del segundo término. Hallar la suma de los primeros tres términos.

Para resolver este problema, vamos a utilizar las propiedades de las progresiones geométricas.

Sea \( a \) el primer término de la progresión geométrica y \( r \) la razón. Los términos de la progresión son entonces:

- Primer término: \( a \)
- Segundo término: \( ar \)
- Tercer término: \( ar^2 \)

### Paso 1: Expresar la suma de los dos primeros términos
Nos dicen que la suma de los dos primeros términos es \( \frac{4}{27} \):

\[
a + ar = \frac{4}{27}
\]

Podemos factorizar \( a \) en el lado izquierdo:

\[
a(1 + r) = \frac{4}{27} \quad \text{(1)}
\]

### Paso 2: Relación entre la razón y el segundo término
También nos dicen que la razón \( r \) es igual al triple del segundo término, es decir:

\[
r = 3 \times ar
\]

Simplificamos esta expresión:

\[
r = 3ar \quad \Rightarrow \quad 1 = 3a
\]

De aquí, despejamos \( a \):

\[
a = \frac{1}{3} \quad \text{(2)}
\]

### Paso 3: Sustituir \( a \) en la ecuación de la suma
Sustituimos \( a = \frac{1}{3} \) en la ecuación (1):

\[
\frac{1}{3}(1 + r) = \frac{4}{27}
\]

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 3 para eliminar el denominador:

\[
1 + r = \frac{4}{9}
\]

Restamos 1 de ambos lados:

\[
r = \frac{4}{9} - 1 = \frac{4}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{5}{9}
\]

### Paso 4: Calcular la suma de los tres primeros términos
Ahora que tenemos \( a = \frac{1}{3} \) y \( r = -\frac{5}{9} \), podemos calcular la suma de los tres primeros términos:

\[
S_3 = a + ar + ar^2
\]

Sustituyendo los valores obtenidos:

\[
S_3 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \left(-\frac{5}{9}\right) + \frac{1}{3} \times \left(-\frac{5}{9}\right)^2
\]

Simplificamos cada término:

\[
S_3 = \frac{1}{3} - \frac{5}{27} + \frac{25}{243}
\]

Para sumar estas fracciones, encontramos un denominador común. El mínimo común múltiplo de 3, 27 y 243 es 243:

\[
S_3 = \frac{81}{243} - \frac{45}{243} + \frac{25}{243}
\]

Sumando los numeradores:

\[
S_3 = \frac{81 - 45 + 25}{243} = \frac{61}{243}
\]

Por lo tanto, la suma de los primeros tres términos de la progresión geométrica es \( \frac{61}{243} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

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Aquí hay 5 preguntas relacionadas que podrían interesarte:

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4. ¿Cómo afecta una razón negativa a los términos de una progresión geométrica?
5. ¿Cómo se calcula la suma infinita de una progresión geométrica?

**Tip:** En una progresión geométrica, si el valor absoluto de la razón es menor que 1, la suma infinita converge y se puede calcular fácilmente usando la fórmula \( S = \frac{a}{1 - r} \).

Explore how to find the sum of the first three terms of a geometric progression where the sum of the first two terms is 4/27 and the common ratio is three times the second term. This detailed solution includes key algebraic techniques and geometric progression concepts, suitable for Grades 9-12.

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