35 puntos) Si 𝐴(−2, −3) y 𝐵(4, 1), halle la ecuación de la recta que corta al eje 𝑥 en −3 y pasa por el 
punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que divide al segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ en la razón 𝑟 = 2/5. Debe hacer una gráfica en hoja 
cuadriculada con lápiz y regla

Vamos a resolver este problema paso a paso, y encontrar la ecuación de la recta mencionada.

### Paso 1: Determinar el punto P que divide el segmento AB en la razón \( r = \frac{2}{5} \)

Los puntos dados son:

- \( A(-2, -3) \)
- \( B(4, 1) \)

La fórmula para el punto \( P(x, y) \) que divide el segmento \( AB \) en una razón \( r = \frac{m}{n} \) es:

\[
P(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m+n}, \frac{m \cdot y_B + n \cdot y_A}{m+n} \right)
\]

Aquí, \( r = \frac{m}{n} = \frac{2}{5} \), por lo que \( m = 2 \) y \( n = 5 \).

Usamos las coordenadas de \( A(-2, -3) \) y \( B(4, 1) \):

\[
P(x, y) = \left( \frac{2(4) + 5(-2)}{2 + 5}, \frac{2(1) + 5(-3)}{2 + 5} \right)
\]

Calculamos cada coordenada:

\[
x_P = \frac{2(4) + 5(-2)}{7} = \frac{8 - 10}{7} = \frac{-2}{7}
\]

\[
y_P = \frac{2(1) + 5(-3)}{7} = \frac{2 - 15}{7} = \frac{-13}{7}
\]

Por lo tanto, el punto \( P \) es \( P\left(\frac{-2}{7}, \frac{-13}{7}\right) \).

### Paso 2: Hallar la ecuación de la recta

La recta debe pasar por el punto \( P\left(\frac{-2}{7}, \frac{-13}{7}\right) \) y cortar al eje \( x \) en el punto \( (-3, 0) \). Sabemos que para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, podemos usar la fórmula de la pendiente:

\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]

Donde \( P_1 = (-3, 0) \) y \( P_2 = \left(\frac{-2}{7}, \frac{-13}{7}\right) \).

\[
m = \frac{\frac{-13}{7} - 0}{\frac{-2}{7} - (-3)} = \frac{\frac{-13}{7}}{\frac{-2}{7} + 3} = \frac{-13}{7} \div \frac{19}{7} = \frac{-13}{7} \cdot \frac{7}{19} = \frac{-13}{19}
\]

La pendiente de la recta es \( m = \frac{-13}{19} \).

Ahora usamos la ecuación de la recta en forma punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \), con \( (x_1, y_1) = (-3, 0) \):

\[
y - 0 = \frac{-13}{19}(x + 3)
\]

\[
y = \frac{-13}{19}(x + 3)
\]

### Paso 3: Graficar la recta

Para graficar, podemos observar que la recta pasa por \( (-3, 0) \) y tiene una pendiente de \( \frac{-13}{19} \), lo que significa que por cada 19 unidades que avanzamos en el eje \( x \), la recta desciende 13 unidades en el eje \( y \).

### Paso 4: Respuesta Final

La ecuación de la recta es:

\[
y = \frac{-13}{19}(x + 3)
\]

Esto resuelve el problema, y con esta ecuación puedes graficar la recta en una hoja cuadriculada, asegurándote de marcar los puntos importantes: el punto donde la recta corta el eje \( x \) en \( (-3, 0) \) y el punto \( P\left(\frac{-2}{7}, \frac{-13}{7}\right) \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre cómo graficar la recta o alguna parte del proceso? Aquí algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la pendiente de una recta entre dos puntos?
2. ¿Qué significa que un punto divida un segmento en una cierta razón?
3. ¿Cuál es la fórmula general de la recta en forma punto-pendiente?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente la pendiente de una recta?
5. ¿Qué pasos seguir para graficar una recta usando la pendiente y un punto conocido?

**Tip:** La pendiente indica la inclinación de la recta; una pendiente negativa significa que la recta desciende de izquierda a derecha.

Si 𝐴(−2, −3) y 𝐵(4, 1), halle la ecuación de la recta que corta al eje 𝑥 en −3 y pasa por el punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que divide al segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ en la razón 𝑟 = 2/5.

Learn how to find the equation of a line that passes through point P, which divides the segment AB in the ratio 2/5, and intersects the x-axis at (-3, 0). This step-by-step guide involves applying the point division formula and the slope-intercept method to solve the problem.

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