35 puntos) Si A(- 2, - 3) * yB(4, 1) halle la ecuación de la recta que corta al eje x en -3 y pasa por el punto P(x, y) que divide al segmento AB en la razón r = 2/3 Debe hacer una gráfica en hoja cuadriculada con lápiz y regla. (Gráfica completa 10 puntos-30 puntos por el procedimiento completo correcto)

Vamos a resolver el problema paso a paso para hallar la ecuación de la recta que se describe y entender cómo el punto \( P(x, y) \) divide el segmento \( AB \) en la razón \( r = \frac{2}{3} \).

### Paso 1: Hallar el punto \( P(x, y) \) que divide el segmento \( AB \) en la razón \( r = \frac{2}{3} \)

Los puntos \( A(-2, -3) \) y \( B(4, 1) \) representan los extremos del segmento. El punto \( P(x, y) \) divide este segmento en la razón \( r = \frac{2}{3} \), lo que significa que la fórmula del punto que divide un segmento en una razón dada \( r = \frac{m}{n} \) es:

\[
P(x, y) = \left( \frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m + n}, \frac{m \cdot y_B + n \cdot y_A}{m + n} \right)
\]

Donde:
- \( m = 2 \)
- \( n = 3 \)
- \( A(x_A, y_A) = (-2, -3) \)
- \( B(x_B, y_B) = (4, 1) \)

Sustituyendo los valores:

\[
x_P = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2)}{2 + 3} = \frac{8 - 6}{5} = \frac{2}{5}
\]
\[
y_P = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot (-3)}{2 + 3} = \frac{2 - 9}{5} = \frac{-7}{5}
\]

Por lo tanto, el punto \( P \left( \frac{2}{5}, \frac{-7}{5} \right) \).

### Paso 2: Ecuación de la recta que pasa por \( P \) y corta al eje x en \( (-3, 0) \)

Sabemos que la recta pasa por el punto \( P \left( \frac{2}{5}, \frac{-7}{5} \right) \) y corta el eje \( x \) en el punto \( (-3, 0) \). La fórmula de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) es:

\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]

Sustituyendo los valores de los puntos \( (-3, 0) \) y \( \left( \frac{2}{5}, \frac{-7}{5} \right) \):

\[
m = \frac{0 - \left( \frac{-7}{5} \right)}{-3 - \left( \frac{2}{5} \right)} = \frac{7}{-3 - \frac{2}{5}} = \frac{7}{\frac{-15}{5} - \frac{2}{5}} = \frac{7}{\frac{-17}{5}} = \frac{7 \cdot 5}{-17} = \frac{-35}{17}
\]

La pendiente de la recta es \( m = \frac{-35}{17} \).

### Paso 3: Usar la forma punto-pendiente para la ecuación de la recta

La fórmula de la recta en la forma punto-pendiente es:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Donde \( (x_1, y_1) = \left( \frac{2}{5}, \frac{-7}{5} \right) \) y \( m = \frac{-35}{17} \). Sustituyendo los valores:

\[
y - \frac{-7}{5} = \frac{-35}{17} \left( x - \frac{2}{5} \right)
\]
\[
y + \frac{7}{5} = \frac{-35}{17} \left( x - \frac{2}{5} \right)
\]

Multiplicamos para simplificar la ecuación:

\[
y + \frac{7}{5} = \frac{-35}{17}x + \frac{35 \cdot 2}{17 \cdot 5}
\]
\[
y + \frac{7}{5} = \frac{-35}{17}x + \frac{70}{85}
\]
\[
y + \frac{7}{5} = \frac{-35}{17}x + \frac{14}{17}
\]

Finalmente, restamos \( \frac{7}{5} \) a ambos lados para encontrar la ecuación final de la recta.

### ¿Te gustaría que continúe con la resolución completa o tienes alguna duda hasta aquí?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se usa la fórmula de la división de un segmento en una razón dada?
2. ¿Qué significa que un punto divida un segmento en una razón \( r = \frac{m}{n} \)?
3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la pendiente de una recta?
4. ¿Cómo se deriva la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta?
5. ¿Por qué la pendiente es negativa en este caso?

**Tip:** La forma punto-pendiente es muy útil cuando conoces un punto y la pendiente, pero si tienes dos puntos, la pendiente se calcula primero.

Si A(-2, -3) y B(4, 1), halle la ecuación de la recta que corta al eje x en -3 y pasa por el punto P(x, y) que divide al segmento AB en la razón r = 2/3. Debe hacer una gráfica en hoja cuadriculada con lápiz y regla.

Learn how to find the equation of a line passing through point P(x, y), dividing segment AB in a ratio of 2/3 and intersecting the x-axis at -3. This problem covers key concepts in coordinate geometry, including line equations, segment division, and slope calculations. Suitable for students in Grades 10-12.

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