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La imagen proporcionada contiene un problema que pide determinar las raíces reales de la función \( f(x) = 5x^3 - 5x^2 + 6x - 2 \) y luego emplear el método de bisección para localizar las raíces \( x_1 = 0 \) y \( x_2 = 1 \) con 5 intentos de puntos medios.

### Paso 1: Identificar las raíces reales

La función dada es:

\[
f(x) = 5x^3 - 5x^2 + 6x - 2
\]

Para encontrar las raíces reales, podemos empezar con la evaluación numérica o utilizar un software para obtener una solución aproximada. Sin embargo, el problema nos pide utilizar el **método de bisección** para localizar las raíces en los intervalos específicos.

### Paso 2: Método de bisección

#### 1. Localizar la raíz \( x_1 \) en el intervalo \( [0, 1] \)

El método de bisección requiere calcular el punto medio del intervalo y evaluar la función en ese punto. Luego, se decide si la raíz está en la mitad izquierda o derecha del intervalo, y se repite el proceso. Aquí realizaremos 5 iteraciones:

- **Intervalo inicial**: \([0, 1]\)
- **Intento 1**: Calculamos el punto medio \( m_1 = \frac{0 + 1}{2} = 0.5 \), y evaluamos \( f(0.5) \):
  \[
  f(0.5) = 5(0.5)^3 - 5(0.5)^2 + 6(0.5) - 2 = 1.25 - 1.25 + 3 - 2 = 1
  \]
  Como \( f(0) \) y \( f(0.5) \) tienen signos opuestos, la raíz está en \([0, 0.5]\).

- **Intento 2**: Nuevo punto medio \( m_2 = \frac{0 + 0.5}{2} = 0.25 \), y evaluamos \( f(0.25) \):
  \[
  f(0.25) = 5(0.25)^3 - 5(0.25)^2 + 6(0.25) - 2 = 0.3125 - 0.3125 + 1.5 - 2 = -0.5
  \]
  Como \( f(0.25) \) es negativo y \( f(0.5) \) es positivo, la raíz está en \([0.25, 0.5]\).

- **Intento 3**: Nuevo punto medio \( m_3 = \frac{0.25 + 0.5}{2} = 0.375 \), y evaluamos \( f(0.375) \):
  \[
  f(0.375) = 5(0.375)^3 - 5(0.375)^2 + 6(0.375) - 2 = 0.5273 - 0.7031 + 2.25 - 2 = 0.0742
  \]
  Como \( f(0.375) \) es positivo y \( f(0.25) \) es negativo, la raíz está en \([0.25, 0.375]\).

- **Intento 4**: Nuevo punto medio \( m_4 = \frac{0.25 + 0.375}{2} = 0.3125 \), y evaluamos \( f(0.3125) \):
  \[
  f(0.3125) = 5(0.3125)^3 - 5(0.3125)^2 + 6(0.3125) - 2 = 0.4883 - 0.4883 + 1.875 - 2 = -0.1367
  \]
  La raíz está en \([0.3125, 0.375]\).

- **Intento 5**: Nuevo punto medio \( m_5 = \frac{0.3125 + 0.375}{2} = 0.34375 \), y evaluamos \( f(0.34375) \):
  \[
  f(0.34375) = 5(0.34375)^3 - 5(0.34375)^2 + 6(0.34375) - 2 = 0.6104 - 0.5889 + 2.0625 - 2 = 0.08398
  \]
  La raíz está en \([0.3125, 0.34375]\).

Después de 5 intentos, la raíz está aproximadamente en \( x_1 \approx 0.328125 \).

#### 2. Localizar la raíz \( x_2 \) en el intervalo \( [1, 2] \)

Aplicamos el mismo proceso, pero ahora para \( [1, 2] \):

- **Intento 1**: Intervalo inicial \([1, 2]\), punto medio \( m_1 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5 \), evaluamos \( f(1.5) \):
  \[
  f(1.5) = 5(1.5)^3 - 5(1.5)^2 + 6(1.5) - 2 = 16.875 - 11.25 + 9 - 2 = 12.625
  \]
  La raíz está en \([1, 1.5]\).

- **Intento 2**: Nuevo punto medio \( m_2 = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25 \), evaluamos \( f(1.25) \):
  \[
  f(1.25) = 5(1.25)^3 - 5(1.25)^2 + 6(1.25) - 2 = 9.7656 - 7.8125 + 7.5 - 2 = 7.4531
  \]
  La raíz está en \([1, 1.25]\).

- **Intento 3**: Nuevo punto medio \( m_3 = \frac{1 + 1.25}{2} = 1.125 \), evaluamos \( f(1.125) \):
  \[
  f(1.125) = 5(1.125)^3 - 5(1.125)^2 + 6(1.125) - 2 = 7.251 - 6.3281 + 6.75 - 2 = 5.6729
  \]
  La raíz está en \([1, 1.125]\).

- **Intento 4**: Nuevo punto medio \( m_4 = \frac{1 + 1.125}{2} = 1.0625 \), evaluamos \( f(1.0625) \):
  \[
  f(1.0625) = 5(1.0625)^3 - 5(1.0625)^2 + 6(1.0625) - 2 = 6.0977 - 5.6289 + 6.375 - 2 = 4.8438
  \]
  La raíz está en \([1, 1.0625]\).

- **Intento 5**: Nuevo punto medio \( m_5 = \frac{1 + 1.0625}{2} = 1.03125 \), evaluamos \( f(1.03125) \):
  \[
  f(1.03125) = 5(1.03125)^3 - 5(1.03125)^2 + 6(1.03125) - 2 = 5.1597 - 5.1563 + 6.1875 - 2 = 4.1909
  \]
  La raíz está en \([1, 1.03125]\).

Después de 5 intentos, la raíz está aproximadamente en \( x_2 \approx 1.015625 \).

### Resumen de Resultados
- Aproximación de la raíz \( x_1 \): \( x_1 \approx 0.328125 \)
- Aproximación de la raíz \( x_2 \): \( x_2 \approx 1.015625 \)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina si un intervalo contiene una raíz antes de aplicar bisección?
2. ¿Cómo se puede mejorar la precisión del método de bisección?
3. ¿Cuáles son las limitaciones del método de bisección en comparación con otros métodos numéricos?
4. ¿Cómo influye la elección del intervalo inicial en el método de bisección?
5. ¿Qué otros métodos numéricos se pueden utilizar para encontrar raíces de funciones polinomiales?

### Tip:
El método de bisección es más eficiente si se eligen intervalos iniciales que estén lo más cerca posible de las raíces, lo que permite reducir el número de iteraciones necesarias.

Learn how to solve the polynomial equation f(x) = 5x^3 - 5x^2 + 6x - 2 using the bisection method with 5 midpoint attempts. Explore detailed steps for finding real roots, including numerical evaluations and interval adjustments. Suitable for advanced high school students studying root finding and numerical methods.

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