
	Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P_0 (1;3) y es paralela al vector
u ⃗=(2,1), en sus formas vectorial, paramétrica, simétrica.
Halla un punto P_1≠ P_0  / P_1∈r  y analiza si A(-2,1) pertenece a la recta.


Para resolver el problema, primero hallaremos la ecuación de la recta en sus diferentes formas: vectorial, paramétrica y simétrica. Luego, determinaremos un punto diferente de \( P_0 \) que pertenezca a la recta y finalmente analizaremos si el punto \( A(-2,1) \) pertenece a dicha recta.

### 1. **Ecuación Vectorial**
La ecuación vectorial de una recta que pasa por un punto \( P_0(x_0, y_0) \) y es paralela a un vector \( \mathbf{u} = (a, b) \) es:

\[
\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{u}
\]

donde \( \mathbf{r}(t) \) es un vector genérico en la recta, \( \mathbf{r}_0 \) es el vector de posición del punto \( P_0 \), y \( \mathbf{u} \) es el vector director.

Dado que \( P_0 = (1, 3) \) y \( \mathbf{u} = (2, 1) \), la ecuación vectorial es:

\[
\mathbf{r}(t) = (1, 3) + t(2, 1)
\]

o, de manera más explícita:

\[
\mathbf{r}(t) = (1 + 2t, 3 + t)
\]

### 2. **Ecuación Paramétrica**
La ecuación paramétrica se obtiene descomponiendo la ecuación vectorial en sus componentes:

\[
\begin{cases}
x = 1 + 2t \\
y = 3 + t
\end{cases}
\]

donde \( t \) es un parámetro que recorre todos los valores reales.

### 3. **Ecuación Simétrica**
Para obtener la ecuación simétrica, despejamos el parámetro \( t \) de las ecuaciones paramétricas:

\[
t = \frac{x - 1}{2} = y - 3
\]

La ecuación simétrica es entonces:

\[
\frac{x - 1}{2} = y - 3
\]

### 4. **Punto \( P_1 \) distinto de \( P_0 \) que pertenece a la recta**
Podemos encontrar un punto \( P_1 \) distinto de \( P_0 \) evaluando la ecuación paramétrica para un valor de \( t \) diferente de 0. Por ejemplo, si tomamos \( t = 1 \):

\[
P_1 = (1 + 2(1), 3 + 1) = (3, 4)
\]

Así, \( P_1 = (3, 4) \) pertenece a la recta.

### 5. **Análisis del punto \( A(-2, 1) \)**
Para determinar si \( A(-2, 1) \) pertenece a la recta, verificamos si existen \( t \) tales que al sustituir en las ecuaciones paramétricas se obtenga \( x = -2 \) y \( y = 1 \):

\[
\begin{cases}
-2 = 1 + 2t \\
1 = 3 + t
\end{cases}
\]

Resolviendo cada ecuación:

\[
2t = -3 \implies t = -\frac{3}{2}
\]
\[
t = -2
\]

Dado que los valores de \( t \) obtenidos no son iguales, el punto \( A(-2, 1) \) **no** pertenece a la recta.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se relacionan las diferentes formas de la ecuación de una recta?
2. ¿Qué significa que un punto pertenezca o no a una recta?
3. ¿Cómo se determina si un vector es paralelo a una recta?
4. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la ecuación simétrica de una recta?
5. ¿Cómo afectan los valores del parámetro \( t \) en la ecuación paramétrica?

**Tip:** Siempre que trabajes con rectas en el plano, es útil visualizar el problema para entender mejor las relaciones entre puntos, rectas y vectores.

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P_0 (1;3) y es paralela al vector u ⃗=(2,1), en sus formas vectorial, paramétrica, simétrica. Halla un punto P_1≠ P_0  / P_1∈r  y analiza si A(-2,1) pertenece a la recta.

Descubre cómo hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P_0 (1;3) y es paralela al vector u ⃗=(2,1) en sus formas vectorial, paramétrica y simétrica. Incluye ejemplos y análisis para determinar si un punto pertenece a la recta. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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