Los vértices de una hipérbola son los puntos V(0,3) y V´(0, -3), y sus focos los puntos F(0, 5) y F(0, -5). Hallar la ecuación de la hipérbola, su excentricidad y la longitud de cada lado recto  

Para resolver este problema sobre la hipérbola, sigamos los siguientes pasos:

### 1. Identificación de los parámetros de la hipérbola
Sabemos que:
- Los vértices son \( V(0, 3) \) y \( V'(0, -3) \).
- Los focos son \( F(0, 5) \) y \( F'(0, -5) \).

#### Distancia entre el centro y los vértices:
La distancia entre el centro y uno de los vértices se denota como \( a \). Dado que los vértices están a una distancia de 3 unidades del origen (que es el centro en este caso):
\[
a = 3
\]

#### Distancia entre el centro y los focos:
La distancia entre el centro y uno de los focos se denota como \( c \). Dado que los focos están a una distancia de 5 unidades del origen:
\[
c = 5
\]

### 2. Ecuación de la hipérbola
Para una hipérbola vertical (porque los vértices y focos están en el eje \( y \)), la ecuación estándar es:
\[
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1
\]
Donde \( a^2 \) y \( b^2 \) están relacionados con \( c^2 \) mediante la fórmula:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
Sustituyendo los valores conocidos:
\[
5^2 = 3^2 + b^2
\]
\[
25 = 9 + b^2
\]
\[
b^2 = 16
\]
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es:
\[
\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1
\]

### 3. Cálculo de la excentricidad
La excentricidad \( e \) de una hipérbola se define como:
\[
e = \frac{c}{a}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
e = \frac{5}{3}
\]

### 4. Longitud de cada lado recto
La longitud de cada lado recto de la hipérbola está dada por:
\[
\text{Longitud de cada lado recto} = \frac{2b^2}{a}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\frac{2 \times 16}{3} = \frac{32}{3} \approx 10.67
\]

### Resumen de los resultados:
- **Ecuación de la hipérbola**: \( \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1 \)
- **Excentricidad**: \( e = \frac{5}{3} \)
- **Longitud de cada lado recto**: \( \frac{32}{3} \approx 10.67 \)

¿Te gustaría una explicación más detallada sobre alguno de estos conceptos o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan las ecuaciones estándar de una hipérbola?
2. ¿Qué diferencia hay entre una hipérbola horizontal y una vertical?
3. ¿Cómo se relacionan los parámetros \( a \), \( b \), y \( c \) en una hipérbola?
4. ¿Qué es la excentricidad de una cónica y cómo afecta su forma?
5. ¿Qué son los lados rectos de una hipérbola y cómo se calculan?
6. ¿Cómo se identifican los ejes de una hipérbola en el plano cartesiano?
7. ¿Cómo se encuentran las asíntotas de una hipérbola?
8. ¿Cómo afecta la ubicación del centro de una hipérbola a su ecuación?

### Tip:
En las hipérbolas, los focos siempre se encuentran fuera de la curva, y la relación \( c^2 = a^2 + b^2 \) es clave para entender la distribución de sus elementos geométricos.

Aprende cómo hallar la ecuación de una hipérbola vertical con vértices y focos dados. Calcula la excentricidad y la longitud de cada lado recto con una explicación detallada paso a paso.

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