Beispiel angeben in dem der Doppelter-Baum mehr als doppelt so teuer ist wie die 
Optimaletour

Ein "Doppelter-Baum" (Double-tree) ist ein Verfahren zur Annäherung an das Problem des Handlungsreisenden (TSP, Traveling Salesman Problem). Bei diesem Ansatz wird ein minimaler Spannbaum (MST, Minimal Spanning Tree) eines Graphen berechnet, der alle Knoten verbindet, und dann wird dieser Baum doppelt durchlaufen, um eine Tour zu erstellen. Dabei kann der doppelte Baum in manchen Fällen deutlich schlechter abschneiden als die optimale Tour.

### Beispiel für einen Fall, bei dem der doppelte Baum mehr als doppelt so teuer ist wie die optimale Tour:

Stellen wir uns einen Graphen mit vier Knoten \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) vor, der so aufgebaut ist, dass die Kanten zwischen \(A\) und den anderen Knoten viel kürzer sind als die Kanten zwischen den restlichen Knoten:

- Die Kantenlängen sind:
  - \(d(A, B) = 1\)
  - \(d(A, C) = 1\)
  - \(d(A, D) = 1\)
  - \(d(B, C) = 10\)
  - \(d(B, D) = 10\)
  - \(d(C, D) = 10\)

### Optimale Tour:
Die optimale Tour verbindet die Punkte effizient, indem der kürzeste Weg gewählt wird:

1. \(A \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow C \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow A\)

Diese Tour hat eine Gesamtlänge von:
\[
1 + 1 + 1 + 1 = 4
\]

### Doppelter Baum:
Im Ansatz des doppelten Baums wird der MST (Minimaler Spannbaum) zuerst berechnet. Hier wäre der minimale Spannbaum:

1. \(A \rightarrow B\)
2. \(A \rightarrow C\)
3. \(A \rightarrow D\)

Die Gesamtlänge des minimalen Spannbaums beträgt:
\[
1 + 1 + 1 = 3
\]

Der doppelte Baum, der diesen Spannbaum doppelt durchläuft, hat eine Gesamtlänge von:
\[
2 \times 3 = 6
\]

### Ergebnis:
- Optimale Tour: 4
- Doppelter Baum: 6

Hier sehen wir, dass der doppelte Baum **1,5-mal so teuer** ist wie die optimale Tour.

Nun nehmen wir an, dass die Kanten zwischen \(B\), \(C\), und \(D\) noch länger werden, z. B. \(d(B, C) = 100\), \(d(B, D) = 100\), und \(d(C, D) = 100\). Der doppelte Baum wird dann zunehmend ineffizienter, und es ist leicht vorstellbar, dass der doppelte Baum in anderen Konstellationen deutlich mehr als doppelt so teuer werden kann wie die optimale Tour.

### Zusammenfassung:
Dieses Beispiel zeigt einen Fall, in dem der doppelte Baum (6 Einheiten) zwar teurer ist als die optimale Tour (4 Einheiten), aber noch nicht ganz doppelt so teuer. Durch Erhöhung der Distanzen zwischen den anderen Knoten könnten wir jedoch eine noch größere Abweichung erreichen.

Möchtest du weitere Details oder hast du Fragen?

### Weitere relative Fragen:
1. Wie berechnet man einen minimalen Spannbaum effizient?
2. Was sind andere gängige Approximationsverfahren für das TSP?
3. Wann ist der doppelte Baum dem optimalen Ergebnis nahe?
4. Wie kann man die Ineffizienz des doppelten Baums verbessern?
5. Wie unterscheidet sich das Problem des Handlungsreisenden bei symmetrischen und asymmetrischen Graphen?

### Tipp:
Ein minimaler Spannbaum ist besonders effizient in Netzwerken mit wenigen langen Verbindungen, aber weniger geeignet für Fälle mit vielen langen Verbindungen.

Beispiel angeben in dem der Doppelter-Baum mehr als doppelt so teuer ist wie die Optimaletour

Explore an example where the double-tree method for solving the Traveling Salesman Problem is more than twice as expensive as the optimal tour. This problem covers key graph theory concepts such as minimal spanning trees and approximation algorithms, useful for advanced students in computer science or applied mathematics.

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