podrias decirme el dominio de la raiz cuadrada de x - 2 / x + 5?

Para determinar el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}} \), debemos considerar dos restricciones:

1. La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser no negativa, es decir:
   \[
   \frac{x - 2}{x + 5} \geq 0
   \]
2. Además, el denominador de la fracción \( x + 5 \) no puede ser igual a cero, porque no está definido.

### Paso 1: Condición de que la fracción sea no negativa
Debemos resolver la desigualdad:
\[
\frac{x - 2}{x + 5} \geq 0
\]

Para resolverla, analizamos los puntos donde el numerador y el denominador son cero:
- \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
- \( x + 5 = 0 \implies x = -5 \) (este valor no estará en el dominio porque anula el denominador).

Dividimos la recta real en intervalos con estos dos puntos críticos: \( x = -5 \) y \( x = 2 \). Los intervalos son:

- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, 2) \)
- \( (2, \infty) \)

Probamos el signo de la fracción en cada intervalo eligiendo un valor de prueba:

- Para \( x = -6 \) en \( (-\infty, -5) \): 
  \[
  \frac{-6 - 2}{-6 + 5} = \frac{-8}{-1} = 8 \quad (\text{positivo})
  \]
- Para \( x = 0 \) en \( (-5, 2) \): 
  \[
  \frac{0 - 2}{0 + 5} = \frac{-2}{5} = -0.4 \quad (\text{negativo})
  \]
- Para \( x = 3 \) en \( (2, \infty) \): 
  \[
  \frac{3 - 2}{3 + 5} = \frac{1}{8} \quad (\text{positivo})
  \]

La fracción es positiva en los intervalos \( (-\infty, -5) \) y \( (2, \infty) \).

### Paso 2: Dominio
El dominio de la función está dado por los intervalos donde la fracción es no negativa y excluyendo el punto donde el denominador se anula \( x = -5 \).

Por lo tanto, el dominio de la función es:
\[
(-\infty, -5) \cup [2, \infty)
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determinan los signos en los intervalos de una desigualdad?
2. ¿Qué ocurre con el dominio de funciones que involucran raíces pares?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( x = -5 \) al dominio de la función?
4. ¿Qué otras restricciones afectan el dominio de una función racional?
5. ¿Cómo cambia el dominio si hubiera un exponente impar en la raíz?

**Tip**: Resolver desigualdades con fracciones es más sencillo si primero encuentras los ceros del numerador y denominador.

Discover how to determine the domain of the function sqrt((x-2)/(x+5)). This problem involves analyzing inequalities and rational functions to find where the expression under the square root is non-negative, including restrictions where the denominator equals zero. Suitable for students in Grades 10-12.

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