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ayúdame con el punto 3, por favor, con despejes para entrar dominio y rango

El punto 3 del ejercicio es la función:

\[
f(x) = \frac{2x + 1}{\sqrt{2x - 1}}
\]

Vamos a calcular el **dominio** y el **rango** de esta función.

### 1. **Dominio**:
Para determinar el dominio, necesitamos identificar las restricciones que hacen que la función no esté definida. La función involucra una raíz cuadrada en el denominador, lo que impone dos restricciones:

1. **El denominador no puede ser igual a 0**: 
   \[
   \sqrt{2x - 1} \neq 0 \implies 2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}
   \]

2. **El contenido dentro de la raíz debe ser mayor que 0**:
   \[
   2x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}
   \]

Por lo tanto, el **dominio** de la función es:
\[
D(f) = \left(\frac{1}{2}, \infty\right)
\]

### 2. **Rango**:
Para encontrar el rango de la función, analicemos su comportamiento para valores de \( x \) dentro del dominio.

La función tiene la forma \( f(x) = \frac{2x + 1}{\sqrt{2x - 1}} \). Notemos que:

- El denominador, \( \sqrt{2x - 1} \), siempre es positivo para \( x > \frac{1}{2} \).
- A medida que \( x \) crece, tanto el numerador \( 2x + 1 \) como el denominador \( \sqrt{2x - 1} \) crecen, pero el numerador crece más rápidamente que el denominador.

Para encontrar el comportamiento límite de la función:

1. **Límite cuando \( x \to \frac{1}{2}^{+} \)**:
   Cuando \( x \) se acerca a \( \frac{1}{2} \) desde la derecha, el denominador tiende a 0, y el numerador tiende a 2, lo que sugiere que \( f(x) \) tiende a infinito positivo. Entonces,
   \[
   \lim_{x \to \frac{1}{2}^{+}} f(x) = \infty
   \]

2. **Límite cuando \( x \to \infty \)**:
   A medida que \( x \to \infty \), tanto el numerador como el denominador tienden a infinito, pero el numerador crece más rápidamente. Podemos analizar el límite:
   \[
   \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{2x - 1}} \approx \frac{2x}{\sqrt{2x}} = \sqrt{2x} \to \infty
   \]
   Esto también implica que la función tiende a infinito a medida que \( x \to \infty \).

### **Conclusión sobre el rango**:
Dado que la función tiende a infinito tanto cuando \( x \to \frac{1}{2}^{+} \) como cuando \( x \to \infty \), podemos concluir que el **rango** de la función es:
\[
R(f) = (0, \infty)
\]

---

¿Te gustaría que te explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo resolver límites indeterminados?
2. ¿Qué son las funciones racionales y cómo analizar sus características?
3. ¿Cómo se derivan funciones que involucran raíces cuadradas?
4. ¿Cuáles son las técnicas para encontrar el rango de una función sin resolver explícitamente?
5. ¿Cómo afectan las transformaciones de una función a su dominio y rango?

### Tip:
Recuerda que siempre debes prestar atención a las restricciones de una función, especialmente cuando hay raíces o fracciones involucradas.

Understand how to determine the domain and range of the rational function f(x) = (2x + 1)/sqrt(2x - 1). This problem involves identifying domain restrictions due to the square root and analyzing limits to find the range. Suitable for students in Grades 10-12.

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