¿Me puedes decir cuál es el dominio y el rango de y=x/(xx-9)

Para encontrar el dominio y el rango de la función \( y = \frac{x}{x^2 - 9} \), procedamos paso a paso:

### Dominio:
El dominio de la función consiste en todos los valores de \( x \) para los cuales la función está definida. En este caso, debemos evitar que el denominador sea igual a cero, ya que la división por cero no está definida.

El denominador es \( x^2 - 9 \). Primero, encontramos los valores de \( x \) que hacen que el denominador sea cero:

\[
x^2 - 9 = 0
\]

\[
x^2 = 9
\]

\[
x = \pm 3
\]

Por lo tanto, la función no está definida en \( x = 3 \) y \( x = -3 \). Entonces, el dominio es:

\[
\text{Dominio: } x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)
\]

### Rango:
Para encontrar el rango, analizamos los valores que puede tomar \( y \). Notamos que la función tiene una asíntota vertical en \( x = 3 \) y \( x = -3 \), y observamos el comportamiento de la función a medida que \( x \) se aleja de estos valores.

Podemos considerar el comportamiento de la función en intervalos distintos al dominio prohibido:

1. **Para \( x \) grande (positivo o negativo):**
   - Cuando \( x \) es muy grande, el término \( x^2 \) domina en el denominador, y la función se comporta como \( y \approx \frac{1}{x} \), lo cual tiende a 0. Así que la función se aproxima a 0 desde ambos lados, pero nunca lo alcanza.

2. **Comportamiento cerca de las asíntotas:**
   - A medida que \( x \) se aproxima a 3 desde la derecha, \( y \) tiende hacia \( +\infty \).
   - A medida que \( x \) se aproxima a 3 desde la izquierda, \( y \) tiende hacia \( -\infty \).
   - Un comportamiento similar ocurre en \( x = -3 \).

3. **Valor cuando \( x = 0 \):**
   - Si \( x = 0 \), entonces \( y = \frac{0}{-9} = 0 \).

Dado que la función tiende a todos los valores positivos y negativos grandes (sin alcanzar exactamente cero) y tiene un valor en \( y = 0 \), el rango de la función es:

\[
\text{Rango: } y \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)
\]

### Resumen:
- **Dominio:** \( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty) \)
- **Rango:** \( y \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se modifica el dominio si la función fuera \( y = \frac{x}{x^2 + 9} \)?
2. ¿Qué sucede con el rango si consideramos \( y = \frac{x+1}{x^2 - 9} \)?
3. ¿Cómo se representa gráficamente la función \( y = \frac{x}{x^2 - 9} \)?
4. ¿Cuál es el impacto en el dominio y rango si el numerador es una constante?
5. ¿Cómo determinar el comportamiento de la función en intervalos específicos del dominio?

### Tip:
Al analizar funciones racionales, es útil encontrar primero las asíntotas verticales (donde el denominador es cero) y luego estudiar el comportamiento de la función en los intervalos definidos por estas asíntotas.

Discover the domain and range of the function y = x / (x^2 - 9) step-by-step with detailed explanations. Explore the conditions for which the function is defined and the values it can take. Suitable for advanced high school students in Grades 11-12.

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